대수적 독립 집합

대수적 독립 집합은 주어진 체(field) F의 확대체(extension field) E에 속하는 원소들의 집합으로서, 그 원소들 사이에 F를 계수로 갖는 0이 아닌 다항식 관계식이 성립하지 않는 집합을 의미한다. 즉, 집합 S가 E에 속하는 원소들의 집합이고, S = {α₁, α₂, ..., αₙ} 이라고 할 때, 임의의 0이 아닌 다항식 f(x₁, x₂, ..., xₙ) ∈ F[x₁, x₂, ..., xₙ]에 대해 f(α₁, α₂, ..., αₙ) ≠ 0 이 성립하면, S는 F 위에서 대수적으로 독립이라고 한다.

정의:

• 체 F의 확대체 E의 부분집합 S가 주어졌을 때, S의 원소 α₁, α₂, ..., αₙ 에 대해, F를 계수로 갖는 모든 0이 아닌 다항식 f(x₁, x₂, ..., xₙ)에 대해 f(α₁, α₂, ..., αₙ) ≠ 0 이면, S는 F 위에서 대수적으로 독립이다.

예시:

• 실수 체 R은 유리수 체 Q의 확대체이다.
• π는 Q 위에서 초월수이므로, {π}는 Q 위에서 대수적으로 독립인 집합이다.
• e와 π는 Q 위에서 대수적으로 독립이라고 추측되지만, 아직 증명되지는 않았다.

성질:

• 대수적 독립 집합의 부분집합은 대수적으로 독립이다.
• 대수적으로 독립인 집합에 대수적인 원소를 추가하면, 더 이상 대수적으로 독립이 아니다. (단, 여기서 '대수적'이라는 것은 해당 체 위에서 대수적이라는 의미이다.)
• 체 F 위에서 대수적으로 독립인 집합의 크기는 기수(cardinality)의 개념을 사용하여 정의될 수 있으며, 이를 초월차수(transcendence degree)라고 한다. 확대체 E/F의 초월차수는 E가 F 위에서 가질 수 있는 최대 대수적 독립 집합의 크기와 같다.

응용:

대수적 독립성은 체 확대의 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다. 특히, 초월수론(transcendental number theory)에서 초월수의 존재성을 증명하거나, 주어진 수들이 대수적으로 독립인지 판별하는 데 사용된다. 또한, 대수기하학(algebraic geometry)에서도 대수적 독립성은 대수적 다양체의 차원을 정의하는 데 활용된다.