환 (대수학)

환 (環, Ring)은 추상대수학에서 두 개의 이항연산(보통 덧셈과 곱셈으로 불림)이 정의되고, 특정 공리들을 만족하는 대수적 구조이다. 환은 정수 집합의 덧셈과 곱셈 연산의 일반화된 개념으로 볼 수 있으며, 정수 외에도 다항식, 행렬, 함수 등 다양한 수학적 대상들을 포괄하는 넓은 개념이다.

정의

집합 R에 두 개의 이항연산, 즉 덧셈(+)과 곱셈(⋅)이 정의되어 있고, 다음 공리들을 만족하면 R을 환이라고 한다.

1. (덧셈에 대한 아벨 군):

   • 덧셈에 대해 닫혀 있다: R의 임의의 원소 a, b에 대해 a + b ∈ R.
   • 덧셈에 대한 결합 법칙: R의 임의의 원소 a, b, c에 대해 ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
   • 덧셈에 대한 항등원(영원)의 존재: R에는 모든 a ∈ R에 대해 a + 0 = 0 + a = a를 만족하는 원소 0이 존재한다.
   • 덧셈에 대한 역원의 존재: R의 임의의 원소 a에 대해 a + (-a) = (-a) + a = 0을 만족하는 원소 -a가 존재한다.
   • 덧셈에 대한 교환 법칙: R의 임의의 원소 a, b에 대해 a + b = b + a.

2. (곱셈에 대한 결합 법칙):

   • 곱셈에 대해 닫혀 있다: R의 임의의 원소 a, b에 대해 a ⋅ b ∈ R.
   • 곱셈에 대한 결합 법칙: R의 임의의 원소 a, b, c에 대해 ( a ⋅ b ) ⋅ c = a ⋅ ( b ⋅ c ).

3. (분배 법칙):

   • R의 임의의 원소 a, b, c에 대해 a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c (왼쪽 분배 법칙)
   • R의 임의의 원소 a, b, c에 대해 ( a + b ) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c (오른쪽 분배 법칙)

만약 환 R이 추가적으로 다음 조건을 만족하면, 환의 종류를 세분화할 수 있다.

• 가환환: 곱셈에 대한 교환 법칙이 성립하는 환 (즉, a ⋅ b = b ⋅ a for all a, b ∈ R).
• 단위원을 갖는 환: 곱셈에 대한 항등원(단위원) 1이 존재하는 환 (즉, 1 ⋅ a = a ⋅ 1 = a for all a ∈ R).
• 정역: 단위원을 갖고, 영인자가 없는 가환환. (영인자란, 0이 아닌 두 원소의 곱이 0이 되는 경우를 말함)
• 체 (Field): 단위원을 갖고, 0이 아닌 모든 원소가 곱셈에 대한 역원을 갖는 가환환. 즉, 곱셈에 대한 가역원들이 존재한다.

예시

• 정수 집합 ℤ: 표준적인 덧셈과 곱셈에 대해 환을 이룬다. 가환환이며, 단위원 1을 갖는다. 또한 정역이다.
• 실수 집합 ℝ, 복소수 집합 ℂ, 유리수 집합 ℚ: 표준적인 덧셈과 곱셈에 대해 환을 이룬다. 가환환이며, 단위원 1을 갖는다. 더 나아가 이들은 모두 체이다.
• n × n 행렬의 집합 M_n(R) (여기서 R은 환): 행렬 덧셈과 행렬 곱셈에 대해 환을 이룬다. n > 1일 때, 일반적으로 가환환이 아니다. 만약 R이 단위원 1을 갖는 환이라면 M_n(R)도 단위원(단위행렬)을 갖는다.
• 다항식 환 R[x]: 환 R의 원소를 계수로 갖는 다항식들의 집합은 다항식 덧셈과 곱셈에 대해 환을 이룬다. 만약 R이 가환환이라면 R[x]도 가환환이다.

응용

환 이론은 대수학의 핵심적인 분야이며, 정수론, 암호론, 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 유한체는 암호학에서 널리 사용되며, 대수적 정수론은 정수론 문제를 해결하는 데 환 이론의 도구를 사용한다. 또한, 환의 개념은 물리학에서도 응용되어, 쿼터니언과 같은 대수적 구조가 양자역학에서 중요한 역할을 한다.