푸앵카레 군

푸앵카레 군 (Poincaré group)은 민코프스키 공간의 등거리 변환 군으로, 특수상대성이론과 양자장론에서 기본적인 역할을 수행하는 중요한 리 군(Lie group)이다. 비균질 로렌츠 군(inhomogeneous Lorentz group)이라고도 불린다.

푸앵카레 군은 로렌츠 변환과 병진 변환으로 구성된다. 로렌츠 변환은 민코프스키 공간의 원점을 고정시키면서 시공간 간격을 보존하는 변환이며, 병진 변환은 시공간의 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동시키는 변환이다. 푸앵카레 군은 이 두 변환을 결합하여 시공간 간격을 보존하는 모든 변환을 포함한다.

수학적으로 푸앵카레 군은 10개의 생성자를 가진다. 6개의 로렌츠 변환 생성자 (3개의 회전과 3개의 부스트)와 4개의 병진 변환 생성자 (시간 병진과 3개의 공간 병진)이다. 이 생성자들은 교환 관계를 가지며, 이 교환 관계는 푸앵카레 대수(Poincaré algebra)를 정의한다.

푸앵카레 군은 물리학에서 중요한 의미를 가진다. 특수상대성이론에서 물리 법칙은 푸앵카레 변환에 대해 불변해야 한다. 즉, 관성 좌표계가 바뀌더라도 물리 법칙은 동일한 형태를 유지해야 한다. 양자장론에서는 입자들은 푸앵카레 군의 표현으로 분류된다. 입자의 질량과 스핀은 푸앵카레 군의 카시미르 연산자(Casimir operator)의 고유값으로 결정된다.

푸앵카레 군은 또한 다양한 물리적 시스템의 대칭성을 나타내는 데 사용된다. 예를 들어, 자유 입자는 푸앵카레 대칭성을 가지며, 이는 자유 입자의 운동이 공간과 시간의 이동 및 회전에 대해 불변함을 의미한다. 이러한 대칭성은 물리적 시스템의 이해와 분석에 중요한 도구로 사용된다.