취른하우스 정리

취른하우스 정리 (Tschirnhaus transformation)는 주어진 다항식의 근을 이용하여 다른 다항식을 구성하는 방법 중 하나이다. 특히 주어진 다항식의 특정 항을 제거하여 더 간단한 형태의 다항식으로 변환하는 데 사용된다. 이 변환은 17세기 독일의 수학자 에렌프리트 발터 폰 취른하우스(Ehrenfried Walther von Tschirnhaus)에 의해 고안되었다.

정의 및 원리

n차 다항식 f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ 이 주어졌을 때, 취른하우스 변환은 새로운 변수 y 를 x 에 대한 다항식으로 표현하여 새로운 다항식 g(y) 를 얻는 과정이다. 즉, y = p(x) (단, *p(x)*는 x에 대한 다항식) 와 같이 y 를 정의하고, f(x) = 0 일 때 g(y) = 0 이 되도록 g(y) 를 구성한다.

활용 및 응용

취른하우스 변환의 주된 목적은 원래 다항식에서 특정 항을 제거하여 다항식을 간소화하는 것이다. 예를 들어, 3차 방정식의 이차항을 제거하여 더 간단한 형태로 변환할 수 있다. 이러한 변환은 고차 방정식을 푸는 데 도움을 줄 수 있으며, 방정식의 해를 구하는 방법을 연구하는 데에도 활용된다.

예시

3차 방정식 x³ + ax² + bx + c = 0 에서 이차항(ax²)을 제거하기 위해 y = x + a/3 이라는 변환을 사용할 수 있다. 이 변환을 통해 새로운 3차 방정식 y³ + p y + q = 0 형태를 얻을 수 있으며, 이차항이 제거된 이 방정식은 원래 방정식보다 풀기가 더 쉬워진다.

역사

취른하우스 변환은 17세기 후반에 취른하우스에 의해 처음 소개되었으며, 당시 방정식론 연구에 큰 영향을 미쳤다. 고차 방정식을 풀기 위한 다양한 시도 중 하나였으며, 이후 다른 수학자들에 의해 발전되고 응용되었다.