정다면체 대칭

정다면체 대칭은 유클리드 공간에서의 정다면체가 가지는 대칭성을 의미한다. 이는 해당 정다면체를 자기 자신으로 변환시키는 모든 변환(회전, 반사, 반전 등)의 집합으로 정의되며, 수학적으로 대칭군(symmetry group)으로 표현된다. 정다면체는 3차원 공간에서 모든 면이 합동인 정다각형이고, 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 동일한 볼록 다면체이다. 플라톤의 입체라고도 불리는 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체가 대표적인 예시이다.

각 정다면체는 고유한 대칭군을 가지며, 이 대칭군은 다음과 같이 크게 회전 대칭군과 전체 대칭군으로 나눌 수 있다.

• 회전 대칭군 (Rotational Symmetry Group): 정다면체를 회전시켜 자기 자신과 일치시키는 변환들의 집합이다. 이는 정다면체의 방향을 보존하는 변환만을 포함한다.

• 전체 대칭군 (Full Symmetry Group): 회전 변환뿐만 아니라 반사, 반전 등 방향을 바꾸는 변환까지 포함하는 모든 대칭 변환의 집합이다. 전체 대칭군은 회전 대칭군을 부분군으로 가진다.

각 정다면체의 대칭군은 군론, 기하학, 결정학 등 다양한 분야에서 중요한 연구 대상이며, 분자 구조, 바이러스 구조 등 자연 현상을 이해하는 데에도 활용된다. 예를 들어, 정사면체의 회전 대칭군은 A₄ (교대군)와 동형이고, 전체 대칭군은 S₄ (대칭군)와 동형이다. 정육면체와 정팔면체는 쌍대 관계에 있으므로 동일한 대칭군을 가지며, 정십이면체와 정이십면체 역시 쌍대 관계이므로 동일한 대칭군을 가진다.