수열의 극한

수열의 극한이란, 수열의 항의 번호가 무한히 커짐에 따라 그 값이 일정한 값에 한없이 가까워지는 현상 또는 그 값을 의미한다. 좀 더 엄밀하게 정의하자면, 수열 ${a_n}$에서 n이 한없이 커질 때, an이 일정한 값 L에 한없이 가까워지면 수열 ${a_n}$은 L에 수렴한다고 말하며, L을 수열 ${a_n}$의 극한값이라고 한다. 이는 다음과 같이 표기한다.

$$\lim_{n \to \infty} a_n = L$$

만약 수열이 특정한 값에 수렴하지 않으면, 그 수열은 발산한다고 한다. 발산하는 수열은 다시 양의 무한대로 발산, 음의 무한대로 발산, 진동 등의 형태로 나눌 수 있다.

정의 (엄밀한 정의, ε-N 논법)

수열 ${a_n}$이 실수 L에 수렴한다는 것은, 임의의 양수 ε > 0에 대해, 자연수 N이 존재하여 n > N인 모든 n에 대해 |aₙ - L| < ε 이 성립하는 것을 의미한다. 이 정의는 극한의 개념을 보다 엄밀하게 수학적으로 표현하기 위해 사용된다.

수렴과 발산

• 수렴: 수열의 항들이 특정한 값에 한없이 가까워지는 경우. 극한값이 존재한다.
• 발산: 수열의 항들이 특정한 값에 가까워지지 않는 경우.
  • 양의 무한대로 발산: 수열의 항들이 한없이 커지는 경우. $\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$
  • 음의 무한대로 발산: 수열의 항들이 한없이 작아지는 경우. $\lim_{n \to \infty} a_n = -\infty$
  • 진동: 수열의 항들이 특정한 값에 수렴하지 않고, 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않는 경우. 예: 1, -1, 1, -1, ...

극한의 성질

수렴하는 수열 ${a_n}$과 ${b_n}$에 대해 다음이 성립한다 (단, c는 상수).

• $\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n$
• $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n$
• $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}$ (단, $\lim_{n \to \infty} b_n \neq 0$)

활용

수열의 극한은 미적분학의 기초가 되며, 함수의 극한, 급수, 미분, 적분 등을 이해하는 데 필수적인 개념이다. 또한, 공학, 경제학, 통계학 등 다양한 분야에서 모델링 및 분석에 활용된다.