사영

사영 (射影, projection)은 일반적으로 기하학적 대상을 다른 공간이나 표면으로 "투영"하는 변환을 의미합니다. 더 넓은 의미로는 한 집합의 원소를 다른 집합의 원소에 대응시키는 함수 중 특정 조건을 만족하는 함수를 가리키기도 합니다. 사영은 다양한 수학 분야에서 중요한 역할을 하며, 특히 선형대수학, 기하학, 함수해석학 등에서 핵심적인 개념으로 사용됩니다.

기하학에서의 사영

기하학에서 사영은 3차원 공간의 물체를 2차원 평면에 나타내는 방법으로 생각할 수 있습니다. 예를 들어, 그림자를 만드는 것이나 사진을 찍는 것도 일종의 사영이라고 볼 수 있습니다. 이러한 사영은 물체의 형태를 왜곡시킬 수 있지만, 공간적인 관계를 시각적으로 표현하는 데 유용합니다.

• 평행 사영 (Parallel Projection): 투영선이 모두 평행하게 투영면에 도달하는 사영입니다. 예시로는 정사영, 경사영 등이 있습니다.
• 중심 사영 (Central Projection): 한 점에서 나오는 투영선이 투영면에 도달하는 사영입니다. 원근법 그림에서 사용되는 투영 방식이 대표적입니다.

선형대수학에서의 사영

선형대수학에서 사영은 벡터 공간에서 부분 공간으로의 선형 변환을 의미합니다. 특정 벡터를 부분 공간으로 "투영"하는 것으로 생각할 수 있습니다. 수학적으로는 멱등성 (idempotent, P² = P)을 만족하는 선형 변환으로 정의됩니다.

• 직교 사영 (Orthogonal Projection): 벡터를 부분 공간에 수직으로 투영하는 사영입니다. 내적 공간에서 중요한 역할을 하며, 최소 제곱법 등 다양한 응용이 있습니다.

함수해석학에서의 사영

함수해석학에서 사영은 Banach 공간 또는 Hilbert 공간에서 닫힌 부분 공간으로의 선형 연산자를 의미합니다. 선형대수학에서의 사영 개념을 일반화한 것으로 볼 수 있습니다.

응용

사영은 컴퓨터 그래픽스, 이미지 처리, 지도 제작 등 다양한 분야에서 활용됩니다. 3차원 물체를 2차원 화면에 표시하거나, 이미지의 왜곡을 보정하거나, 지구 표면을 평면에 나타내는 데 사용될 수 있습니다.