모리타 동치
모리타 동치는 환론에서 두 환 사이의 관계를 나타내는 개념으로, 두 환의 범주론적 성질이 매우 유사함을 나타낸다. 특히, 모리타 동치인 두 환은 가군 범주가 범주론적으로 동형이므로, 가군론적인 관점에서 구별하기 어렵다.
정의
두 환 R과 S가 있을 때, 다음과 같은 조건을 만족하는 쌍대 가군(bimodule) P (R-S 쌍대 가군)와 Q (S-R 쌍대 가군)가 존재하면 R과 S는 모리타 동치라고 한다.
- R-가군으로서의 준동형사상 P ⊗S Q → R이 존재하여 동형사상 R R → R을 유도한다. 여기서 R R은 R-가군 R 자체를 의미한다.
- S-가군으로서의 준동형사상 Q ⊗R P → S이 존재하여 동형사상 S S → S을 유도한다. 여기서 S S은 S-가군 S 자체를 의미한다.
이 때, P와 Q를 모리타 동치의 준거 가군(progenerator)이라고 부른다.
성질
모리타 동치인 두 환 R과 S는 다음과 같은 성질을 공유한다.
- 가군 범주 Mod-R과 Mod-S는 범주론적으로 동형이다. 즉, R-가군 범주와 S-가군 범주 사이에 범주론적 동형 사상이 존재한다.
- 중심(center)이 동형이다. 즉, Z(R) ≅ Z(S)이다.
- 그로텐디크 군(Grothendieck group)이 동형이다.
- 단순 가군, 사영 가군, 단사 가군 등의 개념이 보존된다.
- 자코브슨 근기(Jacobson radical)가 보존된다. 즉, J(R)에 대응하는 J(S)가 존재한다.
- 환의 아르틴 환(Artinian ring)인지, 뇌터 환(Noetherian ring)인지 여부가 보존된다.
예시
- 환 R과 n x n 행렬환 Mn(R)는 모리타 동치이다.
응용
모리타 동치는 환론 뿐만 아니라, C*-대수, 폰 노이만 대수 등의 함수해석학 분야에서도 중요한 개념으로 활용된다. 특히 비가환 기하학(noncommutative geometry)에서 환의 일반화된 개념으로 다루어지며, 다양한 수학적 구조를 이해하는 데 중요한 역할을 한다.