리만 사상 정리

리만 사상 정리 (Riemann mapping theorem)는 복소해석학의 중요한 정리 중 하나로, 단순 연결 영역의 기하학적 성질과 복소함수의 존재성에 관한 내용을 담고 있다. 보다 구체적으로 다음과 같이 설명할 수 있다.

정의:

공간 $\mathbb{C}$의 공집합이 아닌 단순 연결 열린 부분집합 $\Omega$ (단, $\Omega \neq \mathbb{C}$)와 임의의 점 $z_0 \in \Omega$가 주어졌을 때, 다음 두 조건을 만족하는 유일한 등각사상 $f : \Omega \to \mathbb{D}$가 존재한다. 여기서 $\mathbb{D} = {z \in \mathbb{C} : |z| < 1}$는 단위 디스크이다.

1. $f(z_0) = 0$
2. $f'(z_0) > 0$

설명:

• 단순 연결 영역: 단순 연결 영역이란, 영역 내의 모든 폐곡선이 연속적으로 점으로 수축될 수 있는 영역을 의미한다. 직관적으로 구멍이 없는 영역이라고 생각할 수 있다.

• 등각사상: 등각사상이란, 복소함수 중에서 각도를 보존하는 함수를 의미한다. 해석적이며 미분계수가 0이 아닌 함수는 등각사상이다.

• 단위 디스크: 단위 디스크는 복소평면에서 중심이 원점이고 반지름이 1인 원 내부의 영역을 말한다.

리만 사상 정리는 임의의 단순 연결 영역 $\Omega$ (전체 복소평면 제외)가 단위 디스크와 등각적으로 동형임을 보여준다. 즉, $\Omega$를 단위 디스크로 모양을 변형시키면서 각도와 국소적인 모양을 보존하는 변환이 존재한다는 것이다. 이러한 등각사상을 리만 사상이라고 부른다.

의미 및 응용:

리만 사상 정리는 복소해석학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 다음과 같은 분야에서 응용된다.

• 디리클레 문제: 단순 연결 영역에서의 디리클레 문제를 푸는데 사용될 수 있다.
• 등각 기하학: 등각 기하학의 기초적인 도구로 사용된다.
• 유체 역학: 유체 흐름을 연구하는데 사용된다.

증명:

리만 사상 정리의 증명은 다소 복잡하며, 노멀 패밀리(normal family)와 같은 개념을 사용한다.

주의 사항:

리만 사상 정리는 $\Omega \neq \mathbb{C}$인 경우에만 성립한다. 전체 복소평면 $\mathbb{C}$는 단위 디스크와 등각적으로 동형이 아니다 (리우빌 정리 참고). 또한, 리만 사상은 위에서 언급한 두 조건을 만족하는 경우에 유일하다.