라그랑주 승수법
라그랑주 승수법(Lagrange multiplier method)은 제한 조건이 있는 함수의 극값을 구하는 방법이다. 즉, 등식 제약 조건 하에서 함수의 최댓값 또는 최솟값을 찾는데 사용되는 수학적 최적화 기법이다. 주로 다변수 함수에서 특정 조건을 만족하는 극값을 찾을 때 유용하게 활용된다.
개요
일반적인 최적화 문제에서는 함수의 극값을 찾기 위해 미분을 사용한다. 하지만, 제약 조건이 있는 경우에는 직접적인 미분만으로는 해를 구하기 어렵다. 라그랑주 승수법은 이러한 제약 조건을 고려하여 새로운 함수(라그랑주 함수)를 구성하고, 이 함수의 극값을 찾음으로써 원래 문제의 해를 구한다.
원리
라그랑주 승수법의 핵심 아이디어는 제약 조건과 함수의 등고선이 접하는 지점에서 극값이 발생한다는 것이다. 제약 조건과 함수의 등고선이 접하는 지점에서는 두 함수의 기울기 벡터가 평행하며, 이 평행 관계를 나타내는 것이 라그랑주 승수이다.
방법
함수 f(x, y)를 최대화 또는 최소화하되, 제약 조건 g(x, y) = c를 만족해야 한다고 가정하자. 라그랑주 승수법은 다음과 같은 단계를 거쳐 문제를 해결한다.
- 라그랑주 함수 구성: L(x, y, λ) = f(x, y) - λ(g(x, y) - c) (λ는 라그랑주 승수)
- 편미분: L을 x, y, λ에 대해 각각 편미분한다.
- 연립 방정식 해결: 각 편미분 값이 0이 되는 연립 방정식을 풀어 x, y, λ 값을 구한다.
- 극값 판별: 구한 (x, y) 값들을 원래 함수 f(x, y)에 대입하여 최댓값 또는 최솟값을 찾는다. (이때, 필요에 따라 2차 도함수를 이용한 판별법을 사용하기도 한다.)
활용
라그랑주 승수법은 경제학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 최적화 문제를 해결하는데 널리 사용된다. 예를 들어, 경제학에서는 특정 예산 제약 하에서 효용을 극대화하는 소비량 결정, 물리학에서는 에너지 보존 법칙을 만족하는 시스템의 평형 상태 계산 등에 활용된다.
주의사항
라그랑주 승수법은 극값의 존재를 보장하지 않으며, 구한 해가 실제로 극값인지 확인하는 과정이 필요하다. 또한, 제약 조건이 여러 개인 경우에는 각 제약 조건에 대한 라그랑주 승수를 도입하여 문제를 해결해야 한다.