라그랑주 보간법
라그랑주 보간법은 수치 해석 분야에서 주어진 이산적인 데이터 점들의 집합을 정확히 통과하는 가장 낮은 차수의 다항식을 찾는 방법 중 하나이다. 이는 주어진 점들을 근사하는 함수를 구하거나, 알려진 점들 사이의 값을 추정하는 데 사용되는 다항식 보간(Polynomial Interpolation)의 한 형태이다.
주어진 n+1개의 서로 다른 점 (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (x
이 방법의 핵심은 '라그랑주 기저 다항식(Lagrange basis polynomial)'이라는 특별한 형태의 다항식을 사용하는 것이다. 각 데이터 점 (xᵢ, yᵢ)에 대해 정의되는 라그랑주 기저 다항식 Lᵢ(x)는 다음과 같은 성질을 만족한다. Lᵢ(xⱼ) = 1 (i=j일 때), Lᵢ(xⱼ) = 0 (i≠j일 때). 즉, 특정 xᵢ 값에서는 1의 값을 갖고, 나머지 모든 데이터 점의 x 값(xⱼ, j≠i)에서는 0의 값을 갖는다.
전체 보간 다항식 P(x)는 이러한 라그랑주 기저 다항식들에 각 점의 y 값(함수값)을 곱하여 모두 더한 선형 결합 형태로 표현된다. P(x) = Σ [yᵢ * Lᵢ(x)] (i=0부터 n까지 합). 이와 같이 구성된 다항식 P(x)는 정의에 따라 모든 데이터 점 (xᵢ, yᵢ)을 정확히 통과하게 된다.
라그랑주 보간법으로 구해진 다항식은 주어진 점들을 통과하는 가장 낮은 차수의 다항식으로서 유일하다는 장점이 있다. 그러나 새로운 데이터 점이 추가될 경우, 기존의 모든 라그랑주 기저 다항식들을 처음부터 다시 계산해야 하는 단점이 있어, 점들을 순차적으로 추가하며 보간 다항식을 업데이트하는 경우에는 뉴턴 보간법 등 다른 보간 방법을 사용하는 것이 계산 효율성 측면에서 유리할 수 있다.
이 방법은 수치 해석(Numerical Analysis) 분야에서 널리 사용되며, 특히 수치 적분 공식(예: 코츠 공식, Cotes formulas) 등을 유도하는 데 이론적으로 유용하게 활용된다.
라그랑주 보간법은 조제프루이 라그랑주의 이름이 붙어 있지만, 그 전에 에드워드 웨어링(Edward Waring)과 레온하르트 오일러(Leonhard Euler)에 의해 독립적으로 발견된 역사가 있으며, 라그랑주는 1795년에 이 방법을 체계적으로 제시했다.