데데킨트 절단
데데킨트 절단 (Dedekind cut)은 실수(實數)를 엄밀하게 정의하는 방법 중 하나로, 유리수(有理數) 집합을 두 개의 공집합이 아닌 부분집합으로 나누는 특정 방식을 말한다. 독일 수학자 리하르트 데데킨트(Richard Dedekind)에 의해 1872년에 고안되었다. 데데킨트 절단은 유리수만으로 실수를 구성하려는 시도이며, 실수의 완비성을 보장하는 데 중요한 역할을 한다.
정의
유리수 집합 $\mathbb{Q}$의 데데킨트 절단은 다음 조건을 만족하는 $\mathbb{Q}$의 부분집합 $A$이다.
- $A \neq \emptyset$ 이고 $A \neq \mathbb{Q}$ 이다. (공집합이 아니고, 전체 집합도 아니다.)
- 만약 $p \in A$ 이고 $q < p$ 이면 $q \in A$ 이다. ($A$에 속한 수보다 작은 유리수는 항상 $A$에 속한다.)
- $A$는 최댓값을 가지지 않는다. (어떤 $p \in A$에 대해서도 $p < r$ 인 $r \in A$가 존재한다.)
의미 및 활용
데데킨트 절단은 직관적으로 "어떤 실수보다 작은 유리수들의 집합"을 나타낸다. 예를 들어, $\sqrt{2}$에 대한 데데킨트 절단은 제곱해서 2보다 작은 유리수들의 집합이다. 무리수(無理數)는 유리수로 표현할 수 없기 때문에, 데데킨트 절단을 통해 실수로서 정의된다.
데데킨트 절단을 이용하여 실수의 순서, 연산(덧셈, 곱셈 등)을 정의할 수 있으며, 실수의 완비성 공리를 증명할 수 있다. 완비성 공리는 실수의 중요한 성질 중 하나로, 해석학의 여러 정리들을 증명하는 데 사용된다.
예시
- $A = {q \in \mathbb{Q} \mid q < 0}$: 0보다 작은 유리수들의 집합은 데데킨트 절단이다. 이는 실수 0을 나타낸다.
- $A = {q \in \mathbb{Q} \mid q^2 < 2 \text{ or } q < 0}$: 제곱해서 2보다 작거나 0보다 작은 유리수들의 집합은 데데킨트 절단이다. 이는 양의 제곱근 $\sqrt{2}$를 나타낸다.
관련 개념
- 실수(實數)
- 유리수(有理數)
- 무리수(無理數)
- 완비성(完備性)
- 해석학(解析學)