극단 분리 공간

극단 분리 공간 (Extremally disconnected space)은 위상수학에서, 열린 집합의 폐포가 항상 열린 집합인 위상 공간을 의미한다. 즉, 위상 공간 X가 극단 분리 공간이라는 것은 X의 모든 열린 부분집합 U에 대해, U의 폐포 cl(U)가 열린 집합이라는 것을 뜻한다.

정의

위상 공간 X가 다음 조건을 만족하면 극단 분리 공간이라고 한다.

• 모든 열린 집합 U ⊆ X에 대해, cl(U)는 열린 집합이다.

여기서 cl(U)는 U의 폐포를 나타낸다.

성질

• 극단 분리 공간은 완비 분리 공간이다.

• 스톤-체흐 콤팩트화 βD (D는 이산 공간)는 극단 분리 공간이다.

• 극단 분리 공간의 연속적이고 전사적인 상은 극단 분리 공간이다.

예시

• 이산 공간은 극단 분리 공간이다.
• 실수 집합 R은 극단 분리 공간이 아니다. (예: 열린 구간 (0, 1)의 폐포 [0, 1]은 열린 집합이 아니다.)

관련 개념

• 분리 공간
• 완비 분리 공간
• 스톤-체흐 콤팩트화