국소 연결 공간

국소 연결 공간 (Locally Connected Space)은 위상수학에서 다루는 위상 공간의 한 종류로, 공간 내의 각 점이 연결된 근방을 갖는다는 성질을 formal하게 정의한 개념이다. 직관적으로, 공간 전체가 연결되어 있지 않더라도, 각 점의 충분히 작은 окрестность는 연결되어 있는 공간을 의미한다.

정의:

위상 공간 X가 국소 연결 공간이라는 것은, X의 각 점 x에 대해, x의 임의의 окрестность U에 대해, x를 포함하는 U의 열린 연결 부분집합 V가 존재한다는 것이다. 바꿔 말하면, X의 각 점 x는 열린 연결 окрестность의 기저를 갖는다.

예시:

• 실수 전체의 집합 ℝ은 국소 연결 공간이다. 왜냐하면 임의의 점 x에 대해, (x-ε, x+ε) 형태의 열린 구간은 x를 포함하는 연결 открытый набор이기 때문이다.

• 유클리드 공간 ℝⁿ은 국소 연결 공간이다.

• 콤팩트 열린 многообразие는 국소 연결 공간이다.

• 칸토어 집합은 국소 연결 공간이 아니다. 칸토어 집합의 어떤 점도 연결된 открытый набор을 갖지 않기 때문이다.

성질:

• 연결 공간의 연속적 이미지는 연결 공간이지만, 국소 연결 공간의 연속적 이미지는 국소 연결 공간이 아닐 수 있다.

• 국소 연결 공간의 открытый набор은 국소 연결 공간이다.

• 국소 연결 공간의 곱공간은 국소 연결 공간이다.

참고:

국소 연결 공간의 개념은 위상수학, 특히 대수적 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 이 개념은 фундаментная 그룹, хомология 등의 개념과 연관되어 공간의 구조를 이해하는 데 도움을 준다.