고유치 문제

고유치 문제(Eigenvalue problem)는 선형대수학에서 중요한 문제 중 하나로, 주어진 선형 변환 또는 행렬에 대해 그 변환을 가해도 방향이 변하지 않고 크기만 변하는 벡터(고유벡터)와 그 크기 변화의 비율(고유치)을 구하는 문제를 말한다. 즉, n x n 정방 행렬 A에 대해 다음 조건을 만족하는 스칼라 λ (고유치, eigenvalue)와 0이 아닌 벡터 v (고유벡터, eigenvector)를 찾는 것이다.

Av = λv

여기서 A는 선형 변환을 나타내는 행렬이고, v는 고유벡터이며, λ는 고유치이다. 고유치는 A - λI = 0 이라는 특성 방정식(characteristic equation)을 풀어 구할 수 있으며, 여기서 I는 n x n 단위 행렬이다. 특성 방정식은 λ에 대한 n차 다항식이고, 이 다항식의 근이 바로 고유치가 된다. 각 고유치에 대해 해당 고유벡터를 구할 수 있으며, 고유벡터는 유일하지 않고 상수배만큼의 자유도를 가진다.

고유치와 고유벡터는 다양한 분야에서 응용된다. 예를 들어, 물리학에서는 양자역학에서 슈뢰딩거 방정식을 풀 때 고유치 문제를 마주하게 되며, 공학에서는 구조물의 진동 분석, 회로 이론 등에서 활용된다. 또한, 데이터 분석에서는 주성분 분석(PCA)과 같은 차원 축소 기법에서 데이터의 분산을 잘 설명하는 주성분을 찾기 위해 고유치 분해를 사용한다.