가약 리 대수

가약 리 대수 (Reductive Lie algebra)는 리 대수의 한 종류로, 반단순 리 대수의 일반화된 개념이다. 리 대수 mathfrak{g} 가 가약 리 대수라는 것은, mathfrak{g} 를 다음과 같이 분해할 수 있다는 것을 의미한다.

mathfrak{g} = mathfrak{s} ⊕ mathfrak{z}

여기서 mathfrak{s} 는 반단순 리 대수이고, mathfrak{z} 는 mathfrak{g} 의 중심(center)이다. 즉, 가약 리 대수는 반단순 리 대수와 아벨 리 대수의 직합(direct sum)으로 표현될 수 있다.

특징

• 가약 리 대수는 그 표현론이 비교적 잘 알려져 있으며, 반단순 리 대수와 유사한 성질을 많이 가지고 있다.
• 가약 리 대수의 딸림표현(adjoint representation)은 완전 가약(completely reducible)하다.
• 모든 반단순 리 대수는 가약 리 대수이다 (mathfrak{z} = {0} 인 경우).
• 모든 아벨 리 대수는 가약 리 대수이다 (mathfrak{s} = {0} 인 경우).
• 리 군과 리 대수의 관계에서, 가약 리 대수는 가약 리 군(reductive Lie group)에 대응된다.

예시

• 일반 선형 리 대수 mathfrak{gl}(n, mathbb{C}) 는 가약 리 대수이다. 왜냐하면 mathfrak{gl}(n, mathbb{C}) = mathfrak{sl}(n, mathbb{C}) ⊕ mathbb{C}I 로 분해할 수 있으며, mathfrak{sl}(n, mathbb{C}) 는 특수 선형 리 대수 (반단순 리 대수), mathbb{C}I 는 스칼라 행렬들의 공간 (아벨 리 대수)이기 때문이다. 여기서 I는 n x n 단위 행렬이다.
• 유니타리 리 대수 mathfrak{u}(n) 도 가약 리 대수이다.

가약 리 대수는 수학, 특히 리 군과 리 대수 이론에서 중요한 역할을 하며, 물리학에서도 게이지 이론 등 다양한 분야에서 활용된다.