EXTREMUM

Extremum (극값)은 수학에서 함수가 특정 구간 또는 전체 정의역에서 가질 수 있는 최댓값(maximum) 또는 최솟값(minimum)을 포괄적으로 지칭하는 용어이다. '극값'은 해당 함수가 특정 점에서 주변 값들과 비교하여 상대적으로 가장 큰 값(극댓값) 또는 가장 작은 값(극솟값)을 가질 때도 사용된다.

정의

• 최댓값 (Maximum): 함수 f(x)의 정의역 내에서 모든 x에 대해 f(x) ≤ f(c)를 만족하는 c가 존재할 때, f(c)를 f(x)의 최댓값이라 한다.
• 최솟값 (Minimum): 함수 f(x)의 정의역 내에서 모든 x에 대해 f(x) ≥ f(c)를 만족하는 c가 존재할 때, f(c)를 f(x)의 최솟값이라 한다.
• 극댓값 (Local Maximum): 함수 f(x)에서 특정 점 c를 포함하는 열린 구간 (a, b) 내의 모든 x에 대해 f(x) ≤ f(c)를 만족할 때, f(c)를 f(x)의 극댓값이라 한다.
• 극솟값 (Local Minimum): 함수 f(x)에서 특정 점 c를 포함하는 열린 구간 (a, b) 내의 모든 x에 대해 f(x) ≥ f(c)를 만족할 때, f(c)를 f(x)의 극솟값이라 한다.

특징

• 최댓값과 최솟값은 함수 전체 정의역에서 가장 큰 값과 가장 작은 값이며, 극댓값과 극솟값은 특정 구간 내에서 상대적으로 가장 큰 값과 가장 작은 값이다. 따라서, 최댓값은 극댓값 중 하나일 수 있으며, 최솟값은 극솟값 중 하나일 수 있다.
• 극값은 함수의 그래프에서 봉우리(극댓값) 또는 골짜기(극솟값)에 해당하며, 미분 가능한 함수의 경우 극값에서 도함수의 값이 0이 되거나 도함수가 존재하지 않을 수 있다. (페르마의 정리)
• 극값을 찾는 것은 함수의 최대/최소 문제를 해결하는 데 중요한 단계이다.

활용

극값의 개념은 최적화 문제, 경제학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 생산 비용을 최소화하거나 이익을 극대화하는 문제, 최적의 설계 파라미터를 찾는 문제 등에 적용될 수 있다.