포물선

포물선 (拋物線, parabola) 은 이차함수의 그래프로 나타나는 평면 곡선이다. 엄밀하게는 평면 위의 한 점 F (초점)과 그 점을 지나지 않는 한 직선 l (준선)이 주어졌을 때, 점 F까지의 거리와 직선 l까지의 거리가 같은 점들의 자취로 정의된다.

정의

포물선은 다음과 같이 정의될 수 있다.

• 기하학적 정의: 평면 위의 한 점 (초점)과 그 점을 지나지 않는 한 직선 (준선)으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합.
• 대수적 정의: 이차함수 y = ax² + bx + c (단, a ≠ 0)의 그래프.

방정식

포물선의 방정식은 여러 형태로 표현될 수 있다.

• 표준형: 초점이 (p, 0)이고 준선이 x = -p인 포물선의 방정식은 y² = 4px 이다. 이 때, p는 초점과 꼭짓점 사이의 거리를 나타낸다.
• 일반형: Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 (단, B² - 4AC = 0)

성질

포물선은 다음과 같은 중요한 성질들을 갖는다.

• 초점과 준선: 포물선 위의 모든 점은 초점과 준선으로부터 같은 거리에 있다.
• 반사 성질: 포물선 모양의 거울에 축과 평행하게 입사된 빛은 초점에 모이며, 초점에서 나온 빛은 포물선 거울에 반사되어 축과 평행하게 나아간다. 이 성질은 파라볼라 안테나, 탐조등, 태양열 조리기 등에 활용된다.
• 대칭성: 포물선은 축에 대해 대칭이다.

활용

포물선은 다양한 분야에서 활용된다.

• 물리학: 발사체의 궤적, 포물면 거울, 파라볼라 안테나 등
• 공학: 교량, 건축물 설계
• 수학: 이차함수 그래프, 기하학

참고 문헌

• Thomas, G. B., Jr.; Weir, M. D.; Hass, J. R.; Giordano, F. R. (2014). Thomas' Calculus (13th ed.). Pearson Education.