특성함수 (확률론)

특성함수 (Characteristic function)는 확률 변수의 확률 분포를 완전히 결정하는 복소수 값 함수이다. 실변수 확률변수 X에 대해 특성함수 φX(t)는 다음과 같이 정의된다.

φX(t) = E[exp(itX)] = ∫ exp(itx) dFX(x)

여기서 t는 실수이고, i는 허수 단위이며, E는 기댓값 연산자이고, FX(x)는 X의 누적 분포 함수이다. 적분은 르베그-스틸체스 적분으로 해석된다.

성질

• 존재성: 모든 확률 변수에 대해 특성함수는 항상 존재한다.
• 유계성: |φX(t)| ≤ 1 (모든 t에 대해)
• 연속성: 특성함수는 항상 연속 함수이다.
• φX(0) = 1: 특성함수의 원점에서의 값은 항상 1이다.
• 대칭성: 만약 X가 대칭 확률 변수라면 (즉, X와 -X가 동일한 분포를 가질 경우) 특성함수 φX(t)는 실수 값을 가진다.
• 독립성: 만약 X와 Y가 독립적인 확률 변수라면, X + Y의 특성함수는 X의 특성함수와 Y의 특성함수의 곱과 같다. 즉, φX+Y(t) = φX(t)φY(t).
• 유일성: 특성함수는 확률 분포를 유일하게 결정한다. 즉, 서로 다른 두 확률 분포는 서로 다른 특성함수를 가진다. 이를 반전 공식을 통해 확인할 수 있다.
• 미분 가능성: 특성함수가 n번 미분 가능하다면, X의 n차 모멘트가 존재한다.

활용

• 확률 분포 결정: 특성함수를 통해 확률 분포를 정확하게 파악할 수 있다.
• 중심 극한 정리 증명: 중심 극한 정리의 증명에 핵심적인 역할을 한다.
• 합성곱 계산: 독립적인 확률 변수들의 합의 분포를 계산하는 데 유용하다.
• 모멘트 계산: 특성함수를 미분하여 확률 변수의 모멘트를 구할 수 있다.

반전 공식

특성함수 φX(t)로부터 확률 분포 FX(x)를 복원하는 데 사용되는 공식이다. 대표적인 반전 공식 중 하나는 다음과 같다.

FX(b) - FX(a) = lim (T→∞) (1/(2π)) ∫[-T, T] (exp(-ita) - exp(-itb)) / (it) φX(t) dt

여기서 a와 b는 X의 누적 분포 함수 FX(x)가 연속인 점이다.