켈리 방정식

켈리 방정식 (Kelly criterion, Kelly strategy, Kelly bet)은 도박이나 투자에서 자본을 얼마나 투자해야 하는지를 결정하는 데 사용되는 공식이다. 정보 이론에 기반을 두고 있으며, 장기적인 자산 성장을 극대화하는 것을 목표로 한다. 1956년 벨 연구소의 존 래리 켈리 주니어가 개발했다.

개요

켈리 방정식은 단순히 이길 확률이 높은 쪽에 베팅하는 것이 아니라, 승리할 확률과 승리했을 때 얻는 이익, 그리고 실패했을 때 잃는 손실을 모두 고려하여 최적의 투자 비율을 계산한다. 이 비율은 현재 자본 대비 투자해야 할 비율을 나타낸다. 너무 많은 자본을 투자하면 단기적인 변동성에 취약해져 파산 위험이 높아지고, 너무 적은 자본을 투자하면 수익을 극대화할 수 없게 된다.

공식

켈리 방정식은 다음과 같이 표현된다.

• f* = (bp - q) / b

여기서,

• f* = 투자해야 할 자본의 비율
• b = 베팅 성공 시 얻는 순이익 비율 (예: 2배 배당률일 경우 b = 1)
• p = 베팅 성공 확률
• q = 베팅 실패 확률 (q = 1 - p)

예시

만약 당신이 60%의 확률로 이길 수 있는 게임이 있고, 이겼을 때 2배의 배당을 받는다면 (즉, 1을 걸었을 때 1의 이익을 얻음), 켈리 방정식에 따라 투자해야 할 비율은 다음과 같다.

• f* = (1 * 0.6 - 0.4) / 1 = 0.2

따라서 당신은 자본의 20%를 투자해야 한다.

장점 및 단점

• 장점: 장기적으로 자산 성장을 극대화할 수 있다는 이론적 근거를 제공한다.
• 단점:
  • 정확한 승률(p)과 이익률(b)을 알아야 한다. 현실 세계에서는 이를 정확하게 예측하기 어렵다.
  • 변동성이 커질 수 있으며, 심리적으로 감당하기 어려울 수 있다.
  • 켈리 방정식이 제시하는 비율은 파산 위험을 최소화하는 것이 아니라, 장기적인 성장을 극대화하는 비율이므로, 투자자의 위험 감수 성향에 따라 조절이 필요하다.

응용

켈리 방정식은 주식 투자, 포커, 스포츠 베팅 등 다양한 분야에서 사용될 수 있다. 하지만 실제로 적용할 때에는 켈리 방정식이 제공하는 비율을 그대로 따르기보다는, 자신의 위험 감수 능력과 시장 상황을 고려하여 조절하는 것이 일반적이다.