지배 수렴 정리

지배 수렴 정리 (Dominated Convergence Theorem, DCT)는 르베그 적분론에서 중요한 정리 중 하나로, 주어진 함수열의 극한 함수의 적분과 각 함수의 적분의 극한이 같아지는 조건을 제시한다. 즉, 극한과 적분의 순서를 바꾸는 것이 가능한 조건을 제공한다.

정의:

측도 공간 (S, Σ, μ) 위에서 정의된 복소 함수열 {fₙ}이 다음 두 조건을 만족한다고 가정하자.

1. 각 n에 대해 fₙ은 가측 함수이다.
2. 거의 모든 x ∈ S에 대해 limₙ→∞ fₙ(x) = f(x)가 존재한다. 즉, fₙ이 점별 수렴하는 함수 f가 존재한다.
3. 모든 n에 대해 |fₙ(x)| ≤ g(x)를 만족하는 적분 가능한 함수 g: S → [0, ∞]가 존재한다. 여기서 g를 지배 함수(dominating function)라고 부른다. 즉, fₙ의 절댓값이 적분 가능한 함수 g에 의해 지배된다.

위의 조건들이 만족될 때, 다음이 성립한다.

• f는 적분 가능하다.
• limₙ→∞ ∫ fₙ dμ = ∫ f dμ = ∫ limₙ→∞ fₙ dμ

설명:

지배 수렴 정리는 함수열이 점별 수렴하고, 적분 가능한 함수에 의해 지배될 때, 극한 함수의 적분과 각 함수의 적분의 극한이 같다는 것을 보장한다. 이는 리만 적분에서는 성립하지 않는 경우가 많으므로, 르베그 적분의 강력함을 보여주는 중요한 예시 중 하나이다.

활용:

지배 수렴 정리는 확률론, 푸리에 해석, 편미분 방정식 등 다양한 분야에서 널리 활용된다. 특히 확률론에서는 확률 변수들의 기댓값의 극한을 계산하는 데 유용하게 사용된다. 예를 들어, 어떤 확률 변수열이 다른 확률 변수로 수렴하고, 그 확률 변수열의 절댓값이 적분 가능한 확률 변수에 의해 지배된다면, 그 확률 변수열의 기댓값의 극한은 극한 확률 변수의 기댓값과 같다는 것을 보장한다.

주의 사항:

지배 수렴 정리를 적용하기 위해서는 지배 함수 g가 존재하는지 확인하는 것이 중요하다. 또한, fₙ이 점별 수렴하지 않거나, 지배 함수가 존재하지 않는 경우에는 이 정리를 적용할 수 없다.