준 리만 다양체

준 리만 다양체 (Pseudo-Riemannian manifold)는 미분기하학에서 다루는 다양체의 한 종류로, 각 점에서의 접공간에 퇴화되지 않은 대칭 쌍선형 형식(non-degenerate symmetric bilinear form)이 주어진 다양체를 말합니다. 이러한 쌍선형 형식은 일반적으로 계량 텐서(metric tensor)라고 불리며, 이는 각 접공간에서 벡터 간의 내적을 정의하는 역할을 합니다.

준 리만 다양체의 계량 텐서는 양정부호(positive-definite)일 필요가 없다는 점에서 리만 다양체와 구별됩니다. 즉, 어떤 벡터에 대해 내적 값이 음수가 될 수도 있습니다. 계량 텐서의 고윳값 중 양수의 개수를 '지표'(index)라고 하며, 지표가 0인 경우(즉, 계량 텐서가 양정부호인 경우) 준 리만 다양체는 리만 다양체가 됩니다.

준 리만 다양체의 대표적인 예로는 민코프스키 공간(Minkowski space)이 있습니다. 민코프스키 공간은 특수상대성이론에서 시공간을 나타내는 수학적 모델로, 하나의 시간 좌표와 세 개의 공간 좌표로 이루어져 있으며, 계량 텐서는 로렌츠 계량(Lorentzian metric)이라고 불리는 특수한 형태를 가집니다. 로렌츠 계량은 (-, +, +, +) 또는 (+, -, -, -)와 같이 하나의 음수 부호와 세 개의 양수 부호를 가집니다.

준 리만 다양체는 일반상대성이론, 끈 이론 등 현대 물리학의 여러 분야에서 중요한 역할을 합니다. 일반상대성이론에서는 시공간을 준 리만 다양체로 모델링하며, 중력은 이 다양체의 곡률로 설명됩니다. 또한, 준 리만 다양체는 순수 수학 분야에서도 활발하게 연구되고 있으며, 특히 곡률 및 위상수학적 성질에 대한 연구가 활발히 진행되고 있습니다.