정규 부분군

수학, 특히 군론에서 정규 부분군(正規部分群, normal subgroup)은 주어진 군의 특정한 성질을 만족하는 부분군이다. 군 (G)의 부분군 (N)이 다음 조건 중 하나 이상을 만족하면 (N)을 (G)의 정규 부분군이라고 한다.

• (G)의 모든 원소 (g)에 대해, (gNg^{-1} = N)이다. 여기서 (gNg^{-1} = { gng^{-1} \mid n \in N })이다.
• (G)의 모든 원소 (g)에 대해, (gN = Ng)이다. 즉, 왼쪽 잉여류와 오른쪽 잉여류가 같다.
• (N)은 (G)의 켤레 작용에 대해 닫혀 있다. 즉, (N)의 모든 원소 (n)에 대해, (G)의 모든 원소 (g)에 대해 (gng^{-1} \in N)이다.

정규 부분군은 군의 구조를 분석하고, 몫군을 정의하는 데 중요한 역할을 한다. 군 (G)의 정규 부분군 (N)이 주어지면, 몫군 (G/N)을 정의할 수 있다. 몫군은 (N)에 대한 (G)의 잉여류들의 집합이며, 군 연산은 ((aN)(bN) = (ab)N)으로 정의된다.

정규 부분군의 표기는 (N \triangleleft G) 또는 (N \unlhd G)로 나타낸다. 여기서 (N)은 (G)의 정규 부분군임을 의미한다.

예시

• 모든 군 (G)에 대해, 자명한 부분군 ({e}) (여기서 (e)는 (G)의 항등원)과 (G) 자신은 항상 (G)의 정규 부분군이다.
• 아벨 군의 모든 부분군은 정규 부분군이다.
• 교대군 (A_n)은 대칭군 (S_n)의 정규 부분군이다.

성질

• 부분군 (N)이 (G)의 정규 부분군일 필요충분조건은 (N)이 어떤 군 준동형 사상 (\phi : G \rightarrow H)의 핵(kernel)인 것이다. 즉, (N = \text{ker}(\phi))이다.
• 정규 부분군의 교집합은 정규 부분군이다.
• (N)이 (G)의 정규 부분군이고 (H)가 (G)의 부분군이면, (NH = { nh \mid n \in N, h \in H })는 (G)의 부분군이다.

정규 부분군은 군론의 기본적인 개념이며, 갈루아 이론, 표현론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.