절대 연속 측도

절대 연속 측도 (Absolutely Continuous Measure)는 측도론에서 중요한 개념 중 하나로, 주어진 측도에 대해 '절대 연속'이라는 특성을 만족하는 측도를 의미한다. 일반적으로 두 개의 측도 μ와 ν가 주어졌을 때, ν가 μ에 대해 절대 연속이라는 것은 μ-영집합(μ-measure가 0인 집합)은 반드시 ν-영집합이 된다는 것을 의미한다. 즉, 어떤 집합의 μ-measure가 0이면 그 집합의 ν-measure도 0이 되는 경우, ν는 μ에 대해 절대 연속이라고 한다.

정의

ν가 μ에 대해 절대 연속이라는 것은 다음과 같이 정의할 수 있다.

모든 가측 집합 A에 대해, μ(A) = 0 이면 ν(A) = 0 이다.

이를 기호로 표현하면 다음과 같다.

ν << μ (ν는 μ에 대해 절대 연속)

라돈-니코딤 정리와의 관계

절대 연속 측도의 중요성은 라돈-니코딤 정리와 깊이 관련되어 있다. 라돈-니코딤 정리는 다음과 같이 설명할 수 있다.

만약 ν가 σ-유한 측도 μ에 대해 절대 연속이면, 가측 함수 f (라돈-니코딤 도함수라고 불림)가 존재하여 임의의 가측 집합 A에 대해 다음이 성립한다.

ν(A) = ∫_A f dμ

여기서 f는 ν의 라돈-니코딤 도함수이며, dν/dμ로 표기한다.

예시

• 르베그 측도 λ는 실수의 보렐 부분집합에 대해 정의된 측도이고, 디랙 델타 측도 δ는 특정 점에 질량이 집중된 측도이다. 르베그 측도는 디랙 델타 측도에 대해 절대 연속이 아니다. 왜냐하면 디랙 델타 측도는 특정 점에서는 measure가 1이지만, 르베그 measure는 0이기 때문이다. 따라서 르베그 측도-영집합이 디랙 델타 측도-영집합이 되지 않는다.
• 하지만, 만약 f가 적분 가능한 함수라면, ν(A) = ∫_A f dλ로 정의된 측도 ν는 르베그 측도 λ에 대해 절대 연속이다.

응용

절대 연속 측도는 확률론, 함수해석학, 편미분 방정식 등 다양한 분야에서 활용된다. 특히 확률론에서는 확률 변수의 분포를 나타내는 확률 밀도 함수를 정의하는 데 사용되며, 금융 공학에서는 자산 가격의 변화를 모델링하는 데 중요한 역할을 한다.