절대 갈루아 군
절대 갈루아 군 (Absolute Galois group) 은 주어진 체(field) K의 분해 가능한 대수적 폐포(separable algebraic closure) Ksep에 대한 갈루아 군 Gal(Ksep/K)을 의미한다. 즉, K의 대수적 폐포 안에서 K의 모든 분해 가능한 다항식의 근을 포함하는 가장 작은 체인 Ksep에 대한 갈루아 군이다.
절대 갈루아 군은 체 K의 모든 유한 분해 가능 확대에 대한 정보를 담고 있기 때문에 체의 구조를 연구하는 데 중요한 역할을 한다. 하지만 일반적으로 그 구조가 매우 복잡하여 완전히 이해하기 어렵다.
특징
- 무한 군: 일반적으로 K가 유한 체가 아닌 경우, 절대 갈루아 군은 무한 군이다.
- 프로파이니트 군: 절대 갈루아 군은 항상 프로파이니트 군(profinite group)이다. 이는 유한 군들의 역 극한(inverse limit)으로 표현될 수 있음을 의미한다.
- 위상 군: 절대 갈루아 군은 크룰 위상(Krull topology)을 갖는 위상 군으로, 부분군들의 포함 관계를 통해 정의된다.
- 기본 군과의 연관성: 대수 기하학에서, 대수 다양체의 기본 군(fundamental group)은 절대 갈루아 군과 밀접한 관련이 있다.
예시
- 유리수 체 Q의 절대 갈루아 군: Gal(Qsep/Q)는 수학자들에게 가장 중요한 연구 대상 중 하나이지만, 구체적인 구조는 아직 완전히 밝혀지지 않았다.
- 유한 체 Fq의 절대 갈루아 군: Gal(Fqsep/Fq)는 Ẑ (정수 환의 완비화)와 동형이다. 이는 프로파이니트 순환군(profinite cyclic group)이다.
중요성
절대 갈루아 군은 수론, 대수 기하학 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 특히, 다음 문제들을 연구하는 데 중요한 도구로 사용된다.
- 역 갈루아 문제: 주어진 유한 군을 유리수 체 Q의 갈루아 군으로 실현할 수 있는가에 대한 문제.
- 갈루아 표현: 절대 갈루아 군의 선형 표현을 연구하여 수론적인 정보를 얻는 방법.
절대 갈루아 군에 대한 연구는 현대 수학의 중요한 흐름 중 하나이며, 아직도 많은 미해결 문제들이 남아 있다.