이차 상호 법칙

이차 상호 법칙은 정수론, 특히 소수론에서 매우 중요한 위치를 차지하는 정리로, 두 홀수 소수 p와 q에 대해, p가 q의 이차 잉여인지 여부와 q가 p의 이차 잉여인지 여부 사이의 관계를 밝히는 정리이다. 즉, 르장드르 기호 (p/q)와 (q/p) 사이의 관계를 규명한다.

보다 구체적으로 이차 상호 법칙은 다음과 같이 표현된다.

두 홀수 소수 p와 q에 대해,

(p/q) (q/p) = (-1)^(((p-1)/2)*((q-1)/2))

이다. 여기서 (p/q)는 르장드르 기호를 나타내며, p가 q의 이차 잉여이면 1, 그렇지 않으면 -1, p가 q의 배수이면 0의 값을 가진다.

이 법칙은 가우스에 의해 처음 증명되었으며, 이후 수많은 수학자들에 의해 다양한 방법으로 증명되었다. 이차 상호 법칙은 소수의 성질을 연구하는 데 있어 강력한 도구이며, 암호학 등 다양한 분야에 응용된다.

역사

레온하르트 오일러와 아드리앵-마리 르장드르가 이차 상호 법칙의 일부를 추측했지만, 완전한 형태의 법칙은 카를 프리드리히 가우스에 의해 처음으로 제시되고 증명되었다. 가우스는 자신의 생애 동안 이 법칙에 대한 여러 가지 다른 증명을 제시했으며, 이는 그 중요성을 강조한다.

응용

이차 상호 법칙은 르장드르 기호의 값을 효율적으로 계산하는 데 사용될 수 있다. 또한, 주어진 정수가 소수인지 판별하는 소수 판별법이나, 암호학에서의 키 교환 등 다양한 분야에 응용된다.