유리근 정리

유리근 정리는 다항 방정식의 유리수 해(유리근)을 찾는 데 사용되는 정리이다. 이 정리는 유리근의 분자와 분모에 대한 정보를 제공하여 가능한 유리근의 후보들을 제한적으로 줄여줌으로써, 다항 방정식의 해를 찾는 과정을 효율적으로 만들어준다.

정리 내용

계수가 모두 정수인 다항 방정식 aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀ = 0 (단, aₙ ≠ 0) 의 유리근 p/q (단, p와 q는 서로소인 정수, q ≠ 0) 이 존재한다면, p는 a₀의 약수이고 q는 aₙ의 약수이다.

설명

이 정리는 다음과 같은 논리적 과정을 통해 증명될 수 있다. 다항 방정식의 유리근 p/q를 방정식에 대입하면, aₙ(p/q)ⁿ + aₙ₋₁(p/q)ⁿ⁻¹ + ... + a₁(p/q) + a₀ = 0 이 된다. 이 식에 qⁿ을 곱하면, aₙpⁿ + aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₁pqⁿ⁻¹ + a₀qⁿ = 0 이 된다. 이 식을 정리하면, aₙpⁿ = - (aₙ₋₁pⁿ⁻¹q + ... + a₁pqⁿ⁻¹ + a₀qⁿ) 이 된다. 식의 좌변은 p의 배수이고, 우변은 q의 배수이므로, p는 a₀의 약수이고 q는 aₙ의 약수임을 알 수 있다. p와 q가 서로소라는 조건 때문에 p는 a₀의 약수이고 q는 aₙ의 약수라는 결론을 얻는다.

활용

유리근 정리는 다항 방정식의 모든 유리근을 찾는 데 사용된다. 먼저 상수항 a₀의 약수들을 구하고, 최고차항 계수 aₙ의 약수들을 구한다. 그 후, a₀의 약수들을 aₙ의 약수들로 나누어 가능한 유리근의 후보들을 생성한다. 이 후보들을 방정식에 대입하여 실제 유리근인지 확인한다. 모든 후보들을 확인하면, 방정식의 모든 유리근을 찾을 수 있다. 이 과정을 통해 가능한 유리근의 개수를 크게 줄일 수 있어, 해를 구하는 과정을 효율적으로 수행할 수 있다.

제한점

유리근 정리는 유리근만을 찾을 수 있다. 무리수나 허수근은 찾을 수 없다. 또한, 방정식의 차수가 높을 경우, 후보의 개수가 많아져 계산량이 증가할 수 있다.