오일러 지표

오일러 지표(Euler characteristic)는 위상수학에서 다양체(manifold) 또는 더 일반적으로는 단체 복합체(simplicial complex)와 같은 위상 공간의 중요한 위상 불변량(topological invariant)이다. 이는 공간의 '구멍'의 개수와 관련된 정보를 제공한다. 단순히 말해서, 오일러 지표는 공간의 점, 선, 면 등의 개수를 특정한 방식으로 계산하여 얻어지는 값이다.

정의:

다면체의 경우, 오일러 지표 χ(χ는 그리스 문자 카이)는 꼭짓점(V)의 개수에서 모서리(E)의 개수를 빼고, 면(F)의 개수를 더한 값으로 정의된다. 즉, χ = V - E + F 이다. 이 식은 오일러의 다면체 정리로 알려져 있으며, 볼록 다면체에 대해 항상 2가 된다는 것이 알려져 있다.

더 일반적으로, 단체 복합체 K에 대해 오일러 지표는 각 차원의 단체의 개수를 교대로 더한 값으로 정의된다. n차원 단체 복합체 K의 오일러 지표 χ(K)는 다음과 같이 표현된다:

χ(K) = Σ_i=0ⁿ (-1)ⁱ f_i

여기서 f_i는 K의 i-차원 단체의 개수를 나타낸다. (f₀는 꼭짓점의 개수, f₁은 모서리의 개수, f₂는 면의 개수 등을 의미한다.)

예시:

• 구(sphere): χ = 2
• 토러스(torus): χ = 0
• 원환면(Klein bottle): χ = 0
• 사영평면(projective plane): χ = 1

성질:

• 위상 동형인 공간들은 같은 오일러 지표를 가진다. (위상 불변량)
• 오일러 지표는 연속적인 변형에 대해 불변이다.
• 두 공간의 연결합(connected sum)의 오일러 지표는 각 공간의 오일러 지표의 합에서 2를 뺀 값이다.

오일러 지표는 위상수학에서 다양한 응용 분야를 가지고 있으며, 특히 미분기하학과 대수적 위상수학에서 중요한 역할을 한다. 더 복잡한 위상 공간에 대한 오일러 지표의 계산은 더 고차원적인 수학적 개념을 필요로 한다.