에르미트 내적

에르미트 내적 (Hermitian inner product)은 복소수 벡터 공간에서 정의되는 일종의 내적으로, 실수 벡터 공간에서의 일반적인 내적을 복소수 공간으로 확장한 개념이다. 복소수 벡터 공간에서의 내적은 실수 벡터 공간의 내적과 달리, 벡터의 순서를 바꾸면 켤레복소수가 되는 성질을 가진다. 이러한 성질은 복소수 벡터 공간에서 길이, 각도, 직교성과 같은 기하학적 개념을 정의하고 다루는 데 필수적이다.

정의

복소수 벡터 공간 V 위의 에르미트 내적은 다음 성질을 만족하는 함수 <,> : V × V → ℂ 이다.

1. 켤레 대칭성(conjugate symmetry): 모든 벡터 x, y ∈ V 에 대해, <x, y> = <y, x>̅ (여기서 <y, x>̅는 <y, x>의 켤레복소수)
2. 선형성(linearity): 모든 벡터 x, y, z ∈ V 와 복소수 a, b ∈ ℂ 에 대해, <ax + by, z> = a<x, z> + b<y, z>
3. 양의 정부호성(positive-definiteness): 모든 벡터 x ∈ V 에 대해, <x, x> 는 실수이고 <x, x> ≥ 0 이며, <x, x> = 0 이면 x = 0 이다.

예시

• 표준 에르미트 내적: n차원 복소수 벡터 공간 ℂⁿ 에서 벡터 x = (x₁, x₂, ..., x_n) 와 y = (y₁, y₂, ..., y_n) 의 표준 에르미트 내적은 다음과 같이 정의된다.

  <x, y> = x₁y₁̅ + x₂y₂̅ + ... + x_ny_n̅ = ∑_i=1ⁿ x_iy_i̅

응용

에르미트 내적은 양자역학, 신호 처리, 통신 이론 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히 양자역학에서는 파동함수의 내적을 통해 확률 진폭을 계산하고, 직교하는 상태를 구별하는 데 사용된다. 또한, 에르미트 내적은 힐베르트 공간을 정의하는 데 핵심적인 역할을 하며, 힐베르트 공간은 함수해석학과 관련된 다양한 분야에서 활용된다.