아인슈타인 다양체

아인슈타인 다양체는 리치 텐서(Ricci tensor)가 계량 텐서(metric tensor)에 스칼라 상수배를 한 것과 같은 리만 다양체(Riemannian manifold)이다. 즉, 다음과 같은 방정식을 만족하는 리만 다양체 (M, g)를 의미한다.

Ric = λg

여기서 Ric은 리치 텐서를, g는 계량 텐서를, λ는 상수 스칼라를 나타낸다. λ는 아인슈타인 상수(Einstein constant)라고 불린다.

아인슈타인 다양체는 일반 상대성 이론에서 진공 상태의 아인슈타인 방정식의 해에 해당하며, 따라서 물리학적으로 중요한 의미를 가진다. 이러한 다양체는 기하학적으로 매우 흥미로운 성질들을 가지고 있으며, 미분기하학, 끈 이론 등 다양한 분야에서 연구되고 있다.

아인슈타인 다양체의 예로는 상수 단면 곡률을 갖는 공간(예: 유클리드 공간, 구, 쌍곡 공간), 칼라비-야우 다양체(Calabi-Yau manifold) 등이 있다. 아인슈타인 다양체를 찾는 것은 일반적으로 어려운 문제이지만, 다양한 수학적 기법을 통해 해를 구성하거나 존재성을 증명하려는 시도가 이루어지고 있다.