샌드위치 정리
샌드위치 정리 (Squeeze Theorem, Pinching Theorem)는 해석학에서 함수의 극한값을 구하는 데 사용되는 중요한 정리 중 하나이다. 두 함수 사이에 갇힌 함수의 극한값을 구하는 방법으로, 마치 샌드위치처럼 어떤 함수를 위아래로 감싸는 두 함수의 극한값이 같을 때 가운데 함수의 극한값 또한 동일하다는 원리를 이용한다.
정의
세 함수 f(x), g(x), *h(x)*가 어떤 구간 (a, b) (단, a 또는 b는 무한대일 수 있음)에서 다음 조건을 만족한다고 가정하자.
- f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) (모든 x ∈ (a, b)에 대해)
- lim x→c f(x) = L 이고 lim x→c h(x) = L (단, c는 (a, b) 안의 점이거나 a 또는 b일 수 있음)
이때, lim x→c g(x) = L 이 성립한다.
설명
샌드위치 정리는 직관적으로 이해하기 쉽다. 함수 *g(x)*가 *f(x)*와 h(x) 사이에 끼어있고, *f(x)*와 *h(x)*가 모두 x가 c로 가까워질 때 L이라는 동일한 극한값을 가진다면, g(x) 역시 L로 수렴할 수밖에 없다는 것이다. *f(x)*와 *h(x)*가 *g(x)*를 위아래로 '조이는' 효과를 내기 때문에, *g(x)*는 결국 L로 향하게 된다.
활용
샌드위치 정리는 특히 삼각함수의 극한을 구할 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, lim x→0 (sin x)/ x 의 극한값을 직접 구하기는 어렵지만, 다음 부등식을 이용하여 샌드위치 정리를 적용할 수 있다.
cos x ≤ (sin x)/ x ≤ 1 (0 < |x| < π/2)
lim x→0 cos x = 1 이고 lim x→0 1 = 1 이므로, 샌드위치 정리에 의해 lim x→0 (sin x)/ x = 1 이 된다.
이 외에도, 복잡한 함수의 극한값을 직접 구하기 어려울 때, 적절한 함수를 찾아 샌드위치 정리를 적용하여 극한값을 계산할 수 있다.
주의 사항
샌드위치 정리를 적용하기 위해서는 다음 조건들을 반드시 확인해야 한다.
- 주어진 구간에서 세 함수의 부등호 관계가 성립해야 한다.
- *f(x)*와 *h(x)*의 극한값이 존재하고, 서로 같아야 한다.
- 함수의 부등호 관계는 극한값을 구하고자 하는 점 근처에서만 성립해도 충분하다.