비선형 회귀

비선형 회귀 (Nonlinear regression)는 종속 변수와 하나 이상의 독립 변수 간의 관계가 선형적이지 않은 모델을 사용하여 데이터를 분석하는 회귀 분석의 한 형태이다. 즉, 종속 변수의 예측값이 독립 변수의 선형 결합으로 표현될 수 없는 경우 비선형 회귀 모델이 필요하다.

개요

선형 회귀 모델은 종속 변수와 독립 변수 간의 관계를 직선으로 근사하는 반면, 비선형 회귀는 이러한 관계를 곡선이나 다른 비선형 함수로 근사한다. 이는 실제 세계의 많은 현상이 선형적인 방식으로 설명되지 않기 때문에 중요하다. 예를 들어, 약물 농도와 반응 사이의 관계, 효소 반응 속도, 인구 성장 모델 등은 비선형적인 특징을 보인다.

모델링

비선형 회귀 모델은 다음과 같은 일반적인 형태로 표현될 수 있다:

y = f(x, θ) + ε

여기서:

• y는 종속 변수이다.
• x는 독립 변수 (또는 변수들의 벡터)이다.
• f는 독립 변수 x와 파라미터 벡터 θ에 대한 비선형 함수이다.
• θ는 모델의 파라미터 (계수) 벡터이다.
• ε는 오차 항이다.

비선형 함수 f는 지수 함수, 로그 함수, 삼각 함수, 또는 더 복잡한 형태를 가질 수 있다. 모델링의 핵심은 데이터의 특성을 가장 잘 반영하는 적절한 함수 f를 선택하는 것이다.

파라미터 추정

비선형 회귀 모델의 파라미터 θ는 일반적으로 최소 제곱법을 사용하여 추정된다. 최소 제곱법은 관측된 값과 모델 예측 값 사이의 제곱 오차의 합을 최소화하는 파라미터 값을 찾는 방법이다. 그러나 비선형 모델의 경우, 최소 제곱 해를 찾기 위해 반복적인 최적화 알고리즘 (예: Gauss-Newton, Levenberg-Marquardt 알고리즘)이 필요할 수 있다. 이러한 알고리즘은 종종 초기 추정값을 필요로 하며, 적절한 초기값이 수렴에 큰 영향을 미칠 수 있다.

장점 및 단점

• 장점:
  • 데이터의 비선형적 관계를 정확하게 모델링할 수 있다.
  • 선형 회귀 모델보다 더 현실적인 모델을 구축할 수 있다.
• 단점:
  • 모델링 및 파라미터 추정이 더 복잡하다.
  • 최적화 알고리즘이 초기값에 민감하게 반응할 수 있다.
  • 과적합의 위험이 더 크다.

활용 분야

비선형 회귀는 다양한 분야에서 활용된다.

• 생물학: 약물 동태학, 효소 반응 속도 모델링, 생체 반응 모델링
• 화학: 화학 반응 속도 모델링, 농도-반응 관계 모델링
• 물리학: 비선형 광학, 유체 역학 모델링
• 경제학: 성장 모델, 수요 함수 모델링
• 공학: 시스템 식별, 제어 시스템 설계

관련 개념

• 선형 회귀
• 최소 제곱법
• 최적화 알고리즘
• 과적합
• 모델 선택