블로흐 파

블로흐 파 (Bloch wave)는 주기적인 포텐셜 내에서 움직이는 입자, 특히 고체 내의 전자의 파동 함수를 설명하는 수학적 형태이다. 펠릭스 블로흐에 의해 도입되었으며, 고체 물리학에서 결정 내 전자의 거동을 이해하는 데 필수적인 개념이다. 블로흐 정리에 따르면, 주기적인 포텐셜 $V(\mathbf{r})$를 갖는 결정 내에서 슈뢰딩거 방정식을 만족하는 전자의 파동 함수 $\psi(\mathbf{r})$는 다음과 같은 형태를 가진다.

$\psi(\mathbf{r}) = e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}} u(\mathbf{r})$

여기서 $\mathbf{k}$는 결정 운동량 (크리스탈 운동량 또는 파수 벡터)이며, $u(\mathbf{r})$는 결정 격자의 주기성을 갖는 함수이다. 즉, $u(\mathbf{r} + \mathbf{R}) = u(\mathbf{r})$를 만족하며, $\mathbf{R}$은 격자 벡터이다.

블로흐 파는 자유 전자의 파동 함수인 $e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}}$에 격자의 주기성을 반영하는 함수 $u(\mathbf{r})$를 곱한 형태로 볼 수 있다. 이는 전자가 결정 격자의 영향을 받아 변조된 파동 형태로 움직임을 의미한다.

중요성:

• 에너지 밴드 이론: 블로흐 파는 고체 내 전자의 에너지 스펙트럼이 연속적이지 않고 특정 에너지 밴드로 나뉘는 이유를 설명하는 에너지 밴드 이론의 기초가 된다.
• 전도성: 블로흐 파의 개념은 금속, 반도체, 절연체 등 다양한 물질의 전기적 특성을 이해하는 데 필수적이다. 결정 내 전자의 움직임과 관련된 전기 전도도, 열전도도 등을 설명할 수 있다.
• 광학적 특성: 블로흐 파는 고체의 광학적 특성, 즉 빛과의 상호작용을 이해하는 데에도 중요한 역할을 한다. 물질의 흡수, 반사, 투과 등의 현상을 설명하는 데 활용된다.

간단한 예시:

1차원 결정에서, 블로흐 파는 다음과 같이 표현될 수 있다.

$\psi(x) = e^{ikx} u(x)$

여기서 $u(x)$는 $u(x + a) = u(x)$를 만족하며, $a$는 격자 상수이다.

블로흐 파는 고체 물리학의 핵심적인 개념이며, 다양한 물리적 현상을 이해하고 설명하는 데 광범위하게 활용된다.