브뤼아 분해

브뤼아 분해 (Bruhat decomposition)는 선형대수학 및 리 군 이론에서 중요한 개념으로, 대수군의 원소를 특정 부분군들의 곱으로 표현하는 방법이다. 특히, 복소수체 또는 임의의 체 위에서 정의된 가역 행렬의 군 (general linear group, GL(n))에 적용되는 경우가 많다. 브뤼아 분해는 군의 구조를 이해하고, 표현론, 슈베르트 다양체 연구 등에 활용된다.

구체적으로, GL(n, F) (F는 체)의 브뤼아 분해는 다음과 같이 표현될 수 있다.

GL(n, F) = ∪ BwB

여기서:

• GL(n, F)는 F 위에서 정의된 n x n 가역 행렬의 집합이다.
• B는 Borel 부분군으로, 일반적으로 상삼각 행렬들의 부분군을 의미한다.
• w는 Weyl 군 W의 원소이다. Weyl 군은 일반적으로 GL(n, F)의 극대 토러스(maximal torus)의 정규화군(normalizer)을 토러스로 나눈 몫으로 정의되며, GL(n, F)의 경우 순열 행렬(permutation matrix)들의 집합과 동형이다.
• ∪ 기호는 Weyl 군의 모든 원소 w에 대한 BwB의 합집합을 나타낸다.

따라서, 브뤼아 분해는 임의의 가역 행렬이 상삼각 행렬, 순열 행렬, 그리고 또 다른 상삼각 행렬의 곱으로 표현될 수 있음을 의미한다. 이러한 분해는 행렬의 구조를 분석하고, 선형 시스템의 해를 구하는 데 유용하게 사용될 수 있다.

브뤼아 분해는 GL(n, F) 뿐만 아니라 다른 대수군에도 적용될 수 있으며, 각 군의 구조에 따라 Borel 부분군과 Weyl 군의 정의가 달라진다. 일반적인 대수군에서의 브뤼아 분해는 군의 기하학적 성질을 연구하는 데 핵심적인 역할을 한다.