베셀 부등식

베셀 부등식(Bessel's inequality)은 힐베르트 공간에서 정규 직교 집합에 대한 푸리에 계수와 벡터의 노름 사이의 관계를 나타내는 부등식이다. 이는 임의의 벡터를 정규 직교 집합의 선형 결합으로 표현할 때, 그 근사 오차의 크기를 제한하는 데 사용될 수 있다.

정확히 말하면, 힐베르트 공간 H에서 {e_k}_k∈K가 정규 직교 집합일 때, 임의의 벡터 x ∈ H에 대해 다음이 성립한다.

||x||² ≥ Σ_k∈K |⟨x, e_k⟩|²

여기서 ⟨x, e_k⟩는 x와 e_k의 내적을 나타내며, Σ_k∈K는 모든 k ∈ K에 대한 합을 의미한다. |⟨x, e_k⟩|² 항은 x의 e_k 방향으로의 성분 크기의 제곱을 나타낸다.

베셀 부등식은 우변의 합이 좌변의 제곱 노름보다 항상 작거나 같음을 보장한다. 만약 이 부등식에서 등호가 성립한다면, 즉

||x||² = Σ_k∈K |⟨x, e_k⟩|²

이 성립한다면, {e_k}_k∈K는 H의 완전 정규 직교 집합(complete orthonormal set) 또는 정규 직교 기저(orthonormal basis)가 된다. 이 경우, 등호 관계는 파르세발 항등식(Parseval's identity)이라고 불린다. 파르세발 항등식은 벡터 x를 정규 직교 기저를 사용하여 정확하게 표현할 수 있음을 의미한다.

베셀 부등식은 푸리에 해석, 신호 처리, 양자 역학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 특히, 신호를 정규 직교 함수들의 조합으로 표현하고 분석할 때, 신호의 에너지 보존 법칙과 관련된 중요한 정보를 제공한다.