반소 아이디얼

반소 아이디얼(prime ideal)은 추상대수학의 한 분야인 환론에서 다루어지는 특별한 종류의 아이디얼이다. 소수(prime number)의 개념을 아이디얼로 확장한 것으로 이해할 수 있으며, 환의 구조를 이해하는 데 매우 중요한 역할을 한다. 특히 가환환(commutative ring) 이론에서 중심적인 개념이다.

정의

가환환 $R$의 진 아이디얼(proper ideal) $P$가 다음 조건을 만족하면 $P$를 반소 아이디얼이라고 한다.

• $P \neq R$
• 환 $R$의 임의의 두 원소 $a, b$에 대하여, 만약 $ab \in P$이면 $a \in P$ 또는 $b \in P$이다.

이 정의는 다음과 동치이다.

• 환 $R$의 진 아이디얼 $P$에 대하여, 몫환 $R/P$가 정역(integral domain)이다.

비가환환(non-commutative ring)에서도 반소 아이디얼을 정의할 수 있으나, 일반적으로 가환환의 경우를 주로 다룬다.

성질

• 가환환에서 모든 극대 아이디얼(maximal ideal)은 반소 아이디얼이다. 하지만 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. (정역이 아닌 환에서는 (0) 아이디얼이 반소 아이디얼이 아닐 수 있으며, 이 경우 극대 아이디얼이 아니다.)
• 가환환 $R$에서 아이디얼 $(0)$이 반소 아이디얼인 것은 $R$이 정역인 것과 동치이다.
• 유한환(finite ring)에서 반소 아이디얼은 극대 아이디얼과 동치이다.
• 반소 아이디얼들의 교집합은 반드시 반소 아이디얼이 되는 것은 아니다.

예시

• 정수환 $\mathbb{Z}$에서 반소 아이디얼은 $(0)$과 소수 $p$에 의해 생성된 아이디얼 $(p) = {np \mid n \in \mathbb{Z}}$이다. 예를 들어, $(2)$, $(3)$, $(5)$, ... 등은 반소 아이디얼이다. 아이디얼 $(6)$은 반소 아이디얼이 아니다. 왜냐하면 $2 \times 3 = 6 \in (6)$이지만, $2 \notin (6)$이고 $3 \notin (6)$이기 때문이다. 아이디얼 $(4)$도 반소 아이디얼이 아니다. 왜냐하면 $2 \times 2 = 4 \in (4)$이지만 $2 \notin (4)$이기 때문이다.
• 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$에서 반소 아이디얼은 $(0)$과 기약 다항식(irreducible polynomial)으로 생성된 아이디얼이다.

중요성

반소 아이디얼은 환의 구조를 이해하는 데 있어 기본적인 도구이다. 대수기하학에서는 환의 반소 아이디얼들의 집합(환의 스펙트럼, Spec R)이 해당 환에 대응하는 대수적 다양체(algebraic variety) 또는 스킴(scheme)의 점들의 집합을 이루며, 이는 대수적 다양체의 기약 성분(irreducible component)과 관련이 있다. 이처럼 반소 아이디얼은 환론을 기하학적인 대상으로 연결하는 중요한 다리 역할을 한다.

같이 보기

• 극대 아이디얼
• 소수
• 정역
• 환
• 환의 스펙트럼