무리수

무리수(無理數, irrational number)는 유리수로 나타낼 수 없는 실수이다. 즉, 두 정수의 비(分數) m/n (n ≠ 0) 꼴로 표현할 수 없는 수를 말한다. 이는 소수점 아래로 0으로 끝나지 않고 무한히 이어지며, 순환하지 않는 무한소수(non-repeating infinite decimal)로 나타난다.

정의 및 특징

• 무리수는 실수를 유리수와 구분 짓는 중요한 개념이다. 실수는 유리수와 무리수로 이루어져 있으며, 이 둘은 서로소(disjoint)이다.
• 무리수의 집합은 유리수의 집합보다 훨씬 더 크다. (기수(cardinality)가 더 크다.)
• 무리수의 연산 결과는 때때로 유리수가 될 수도 있다. 예를 들어, √2 × √2 = 2 와 같이 무리수와 무리수의 곱이 유리수가 될 수 있다.
• 無理數라는 이름은 '이치에 맞지 않는 수'라는 의미를 내포하고 있으며, 고대 그리스에서 유리수로 모든 수를 표현하려던 시도가 무리수(특히 √2)의 발견으로 좌절되면서 붙여진 이름이다.

주요 무리수의 예

• √2 (루트 2, 제곱근 2): 피타고라스 학파에 의해 처음 발견된 것으로 알려진 무리수.
• π (파이): 원주율로, 원의 둘레와 지름의 비를 나타내는 무리수. 약 3.14159...이다.
• e (자연상수): 자연로그의 밑으로, 약 2.71828...이다.
• 황금비 (φ): (1+√5)/2 로 표현되는 무리수.

무리수의 증명

특정 수가 무리수임을 증명하는 방법은 여러 가지가 있다. 가장 일반적인 방법 중 하나는 귀류법(reductio ad absurdum)을 사용하는 것이다. 예를 들어, √2가 무리수임을 증명하기 위해 다음과 같은 단계를 따른다.

1. √2가 유리수라고 가정한다. 즉, √2 = m/n (m, n은 서로소인 정수, n ≠ 0)이라고 가정한다.
2. 양변을 제곱하면 2 = m²/n² 이 된다.
3. m² = 2n² 이므로 m²은 짝수이다. 따라서 m도 짝수이다. (짝수의 제곱만이 짝수이므로)
4. m = 2k (k는 정수)라고 놓으면 (2k)² = 2n² 이 되고, 4k² = 2n² 이 된다. 따라서 n² = 2k² 이다.
5. n²도 짝수이므로 n도 짝수이다.
6. m과 n이 모두 짝수이므로 서로소라는 가정에 모순된다.
7. 따라서 √2는 유리수가 아니다. 즉, √2는 무리수이다.

활용

무리수는 수학, 과학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어, 물리학에서 파동을 기술하거나, 공학에서 건축물의 안정성을 계산하는 데 사용된다. 또한, 암호학에서도 무리수의 특성을 활용한 암호화 방식이 연구되고 있다.