매끄러운 사상

매끄러운 사상(smooth map)은 미분가능한 함수들의 일반화된 개념으로, 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 사이의 함수로, 각 점에서 무한 번 미분가능한 함수를 의미한다.

정의

두 매끄러운 다양체 M과 N 사이의 함수 f: M → N이 주어졌을 때, f가 매끄러운 사상이라는 것은 다음과 같은 조건을 만족한다는 것을 의미한다. M의 각 점 p에 대해, p 근방의 좌표계 (U, φ)와 f(p) 근방의 좌표계 (V, ψ)가 존재하여, 국소 표현 ψ ∘ f ∘ φ⁻¹ : φ(U) → ψ(V)가 무한 번 미분가능한 함수라는 것이다. 여기서 φ(U)와 ψ(V)는 각각 유클리드 공간의 열린 부분집합이다.

성질

• 매끄러운 사상의 합성과 역도 매끄러운 사상이다.
• 매끄러운 사상은 국소적으로 유클리드 공간 사이의 무한 번 미분가능한 함수로 표현될 수 있다.
• 매끄러운 사상의 미분은 접공간 사이의 선형 사상으로 정의되며, 이를 접사상(tangent map) 또는 푸쉬포워드(pushforward)라고 부른다.
• 미분다양체의 자기 동형 사상 중 매끄러운 사상이며, 매끄러운 역함수를 가지는 사상을 미분동형사상(diffeomorphism)이라고 한다.

응용

• 미분기하학: 다양체의 구조를 연구하고, 측지선, 곡률 등의 개념을 정의하는 데 사용된다.
• 위상수학: 다양체의 분류 및 불변량을 연구하는 데 사용된다.
• 물리학: 일반 상대성 이론에서 시공간의 구조를 기술하는 데 사용된다.
• 제어 이론: 시스템의 상태 공간을 나타내는 데 사용된다.
• 컴퓨터 그래픽스: 곡면 모델링 및 렌더링에 사용된다.

관련 개념

• 미분 가능 함수
• 다양체
• 접공간
• 미분 형식
• 특이점 이론
• 벡터장