리치 평탄 다양체

리치 평탄 다양체(Ricci-flat manifold)는 리치 곡률 텐서가 0인 리만 다양체를 말한다. 즉, 다양체의 각 점에서 리치 곡률이 모든 방향에 대해 0인 경우 해당 다양체를 리치 평탄하다고 한다.

리치 평탄 다양체는 일반 상대성 이론에서 진공 아인슈타인 장 방정식의 해에 해당하며, 중력이 없는 공간을 나타낸다. 이러한 다양체는 칼라비-야우 다양체를 포함하며, 끈 이론 및 미분기하학에서 중요한 역할을 한다.

리치 평탄 조건은 리만 다양체의 기하학적 성질에 강한 제약을 가하며, 대칭성이 높은 다양체들은 대부분 리치 평탄하다. 리치 평탄 다양체를 찾는 것은 일반적으로 어려운 문제이지만, 특수한 경우에는 다양한 구성 방법들이 알려져 있다. 예를 들어, 쾨흘러 다양체 위에서 칼라비 추측을 통해 칼라비-야우 다양체를 구성할 수 있다.

리치 평탄 다양체는 다양한 수학적, 물리적 응용을 가지며, 현재까지도 활발히 연구되고 있는 분야이다.