단조 수렴 정리

단조 수렴 정리 (Monotone Convergence Theorem)는 실해석학에서, 실수열의 수렴성을 판정하는 중요한 정리 중 하나이다. 이 정리는 특정한 조건을 만족하는 단조수열은 반드시 수렴한다는 것을 보장한다.

정의

단조 수렴 정리는 다음과 같이 정의된다.

• 만약 수열 {a_n}이 단조증가수열이고 위로 유계이면, 수열 {a_n}은 수렴한다.
• 만약 수열 {a_n}이 단조감소수열이고 아래로 유계이면, 수열 {a_n}은 수렴한다.

여기서,

• 단조증가수열 (Monotonically Increasing Sequence)이란 모든 n에 대해 a_n ≤ a_(n+1)을 만족하는 수열을 말한다. 즉, 수열의 항들이 계속 증가하거나 같아지는 수열이다.
• 단조감소수열 (Monotonically Decreasing Sequence)이란 모든 n에 대해 a_n ≥ a_(n+1)을 만족하는 수열을 말한다. 즉, 수열의 항들이 계속 감소하거나 같아지는 수열이다.
• 위로 유계 (Bounded Above)란 어떤 실수 M이 존재하여 모든 n에 대해 a_n ≤ M을 만족하는 경우를 말한다. 즉, 수열의 모든 항들이 특정 값보다 작거나 같을 때, 그 수열은 위로 유계하다고 한다. 여기서 M을 상계(upper bound)라고 한다.
• 아래로 유계 (Bounded Below)란 어떤 실수 m이 존재하여 모든 n에 대해 a_n ≥ m을 만족하는 경우를 말한다. 즉, 수열의 모든 항들이 특정 값보다 크거나 같을 때, 그 수열은 아래로 유계하다고 한다. 여기서 m을 하계(lower bound)라고 한다.

의미 및 중요성

단조 수렴 정리는 수열의 극한값을 구체적으로 알지 못하더라도, 수열의 수렴성을 판단할 수 있게 해준다. 즉, 수열이 단조성을 가지고 있고, 유계성만 확인되면 수렴한다는 것을 보장하기 때문에, 극한값을 직접 계산하기 어려운 경우에 유용하게 사용된다. 예를 들어, 재귀적으로 정의된 수열의 수렴성을 증명하는 데 자주 활용된다. 또한, 해석학의 여러 정리들을 증명하는 데 기초적인 역할을 한다.

예시

다음 수열은 단조 수렴 정리의 예시이다.

• a_1 = 1, a_(n+1) = √(2 + a_n)으로 정의된 수열 {a_n}은 단조증가하고 위로 유계임을 보일 수 있다. 따라서 단조 수렴 정리에 의해 이 수열은 수렴한다.

주의사항

단조 수렴 정리의 조건을 만족하지 않는 수열은 수렴하지 않을 수도 있다. 예를 들어, 단조롭지 않거나 유계가 아닌 수열은 발산할 수 있다. 따라서, 단조 수렴 정리를 적용하기 전에 수열이 단조성을 만족하는지, 그리고 유계인지 확인하는 것이 중요하다.