교집합

교집합 (Intersection)은 집합론에서 두 개 이상의 집합에 공통으로 속하는 모든 원소로 이루어진 집합을 의미한다. 즉, 집합 A와 집합 B의 교집합은 A에도 속하고 B에도 속하는 모든 원소를 포함하는 집합이며, 기호로는 A ∩ B 로 나타낸다.

정의

집합 A와 집합 B의 교집합은 다음과 같이 정의된다.

A ∩ B = {x | x ∈ A and x ∈ B}

여기서 '∈'는 '속한다'는 의미이며, 'and'는 논리곱을 의미한다. 즉, A ∩ B는 'x가 A에 속하고 동시에 B에 속하는 모든 x의 집합'을 의미한다.

예시

• A = {1, 2, 3, 4, 5} 이고 B = {3, 5, 6, 7} 일 때, A ∩ B = {3, 5} 이다.
• A = {a, b, c} 이고 B = {d, e, f} 일 때, A ∩ B = {} 이다. (공집합)

성질

교집합은 다음과 같은 성질을 갖는다.

• 교환 법칙: A ∩ B = B ∩ A
• 결합 법칙: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
• 멱등 법칙: A ∩ A = A
• 공집합과의 교집합: A ∩ ∅ = ∅ (∅는 공집합)
• 전체집합과의 교집합: A ∩ U = A (U는 전체집합)
• 분배 법칙: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

응용

교집합은 데이터베이스, 컴퓨터 과학, 논리학 등 다양한 분야에서 활용된다. 예를 들어 데이터베이스에서 두 테이블의 공통된 속성을 찾거나, 프로그래밍에서 두 조건이 모두 만족하는 경우를 판별하는 데 사용될 수 있다.