호프 불변량

호프 불변량 (Hopf invariant)은 위상수학, 특히 호모토피 이론에서 다루는 개념으로, 3차원 구면 $S^3$에서 2차원 구면 $S^2$로 가는 연속 함수 (즉, 사상)의 호모토피류를 구별하는 정수 값이다. 하인츠 호프(Heinz Hopf)가 1931년에 도입했으며, 이러한 사상들이 자명하지 않음을 증명하는 데 사용되었다.

정확히 말하면, 주어진 연속 사상 $f: S^3 \rightarrow S^2$에 대하여 $S^2$의 서로 다른 두 점 $p, q$를 선택한다. $f^{-1}(p)$와 $f^{-1}(q)$는 $S^3$ 안의 1차원 닫힌 부분 다양체, 즉 매듭 (knot) 또는 연결고리 (link)를 이룬다. 이 두 매듭 (또는 연결고리)의 연결수 (linking number)는 $p$와 $q$의 선택에 의존하지 않으며, 사상 $f$의 호모토피류에만 의존한다. 이 연결수를 $f$의 호프 불변량이라고 한다.

호프 불변량은 임의의 정수값을 가질 수 있으며, 호프 사상 (Hopf fibration)의 호프 불변량은 1이다. 호프 불변량이 1인 사상은 $S^3$를 $S^2$ 위에 효과적으로 "꼬아" 감는 방식으로 이해할 수 있다. 호프 불변량은 호모토피 군 $\pi_3(S^2)$를 이해하는 데 중요한 역할을 하며, 이는 구면의 호모토피 군 연구의 초기 중요한 결과 중 하나이다. 이후, 호프 불변량은 보다 일반적인 호모토피 이론 및 다양체의 위상적 성질을 연구하는 데 사용되는 도구로 발전했다.