헬리의 정리

헬리의 정리는 볼록 기하학에서 다루는 기본적인 정리 중 하나로, 볼록 집합들의 교집합에 대한 중요한 정보를 제공한다. 헬리의 정리는 다음과 같이 진술할 수 있다.

만약 $n$개의 볼록 집합 $C_1, C_2, ..., C_n$ ($n \geq d+1$)이 $d$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^d$에 주어져 있고, 이 중 임의의 $d+1$개의 집합의 교집합이 공집합이 아니라면, 전체 $n$개의 집합의 교집합 역시 공집합이 아니다. 즉,

$$\bigcap_{i=1}^n C_i \neq \emptyset$$

이 정리는 1923년에 에두아르트 헬리(Eduard Helly)에 의해 증명되었으며, 볼록 최적화, 조합 기하학 등 다양한 분야에서 응용된다. 헬리의 정리는 또한 채색 정리, 키랄의 정리 등 다른 중요한 정리들을 증명하는 데 사용될 수 있다.

헬리의 정리의 증명은 일반적으로 수학적 귀납법을 사용하여 이루어진다. $d=1$인 경우, 즉 수직선 상에서의 볼록 집합 (구간)들의 경우, 임의의 두 구간의 교집합이 공집합이 아니면 전체 구간의 교집합도 공집합이 아님을 쉽게 보일 수 있다. 이를 바탕으로 더 높은 차원으로 일반화한다.