크라메르 법칙

크라메르 법칙(Cramer's rule)은 연립 일차 방정식의 해를 행렬식으로 표현하는 공식이다. 이 법칙은 해를 구하는 방법 중 하나로, 계수 행렬의 행렬식과 특정 열을 상수항 벡터로 대체한 행렬의 행렬식을 이용하여 각 미지수의 값을 계산한다.

정의 및 공식

n개의 미지수와 n개의 방정식을 가지는 다음과 같은 연립 일차 방정식이 있다고 가정하자.

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁nxₙ = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂nxₙ = b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙnxₙ = bₙ

이를 행렬 형태로 표현하면 다음과 같다.

Ax = b

여기서 A는 계수 행렬, x는 미지수 벡터, b는 상수항 벡터이다.

크라메르 법칙에 따르면, 만약 계수 행렬 A의 행렬식(det(A))이 0이 아니라면, 각 미지수 xᵢ는 다음과 같이 계산될 수 있다.

xᵢ = det(Aᵢ) / det(A)

여기서 Aᵢ는 행렬 A의 i번째 열을 상수항 벡터 b로 대체한 행렬이다.

계산 방법

1. 계수 행렬 A의 행렬식(det(A))을 계산한다.
2. 각 미지수 xᵢ에 대해, 행렬 A의 i번째 열을 상수항 벡터 b로 대체한 행렬 Aᵢ를 만든다.
3. 각 행렬 Aᵢ의 행렬식(det(Aᵢ))을 계산한다.
4. 각 미지수 xᵢ의 값은 det(Aᵢ)를 det(A)로 나눈 값이다.

예시

다음 연립 일차 방정식을 고려해 보자.

2x + y = 7 x - y = 2

계수 행렬 A는 다음과 같다.

A = | 2 1 | | 1 -1 |

det(A) = (2 * -1) - (1 * 1) = -3

x를 구하기 위해, A의 첫 번째 열을 상수항 벡터로 대체한 행렬 A₁을 만든다.

A₁ = | 7 1 | | 2 -1 |

det(A₁) = (7 * -1) - (1 * 2) = -9

y를 구하기 위해, A의 두 번째 열을 상수항 벡터로 대체한 행렬 A₂를 만든다.

A₂ = | 2 7 | | 1 2 |

det(A₂) = (2 * 2) - (7 * 1) = -3

따라서, x = det(A₁) / det(A) = -9 / -3 = 3 이고, y = det(A₂) / det(A) = -3 / -3 = 1 이다.

제한 사항

• 크라메르 법칙은 계수 행렬의 행렬식이 0이 아닌 경우에만 적용 가능하다. 행렬식이 0인 경우, 해가 없거나 무수히 많은 해를 가질 수 있다.
• 미지수와 방정식의 수가 같은 경우에만 적용 가능하다.
• 방정식의 수가 많아질수록 행렬식 계산이 복잡해져 계산 효율이 떨어진다. 따라서 큰 규모의 연립 방정식에는 가우스 소거법과 같은 다른 해법이 더 효율적일 수 있다.

활용

크라메르 법칙은 이론적인 분석이나 작은 규모의 연립 방정식을 풀 때 유용하게 사용될 수 있다. 또한, 선형 대수학의 기본적인 개념을 이해하는 데 도움을 준다.