정사면체
정사면체 (正四面體, regular tetrahedron)는 모든 면이 합동인 정삼각형으로 이루어진 사면체이다. 즉, 사면체이면서 동시에 정다면체이다. 정사면체는 4개의 면, 6개의 모서리, 그리고 4개의 꼭짓점을 가진다. 각 꼭짓점에는 3개의 면이 만난다.
기하학적 성질
- 겉넓이 (Surface Area): 한 변의 길이가 a인 정사면체의 겉넓이는 √3 * a² 이다.
- 부피 (Volume): 한 변의 길이가 a인 정사면체의 부피는 (√2 / 12) * a³ 이다.
- 높이 (Height): 한 변의 길이가 a인 정사면체의 높이는 (√6 / 3) * a 이다.
- 이면각 (Dihedral Angle): 정사면체의 이면각은 arccos(1/3) ≈ 70.53° 이다.
좌표
원점을 중심으로 하고 한 변의 길이가 2인 정사면체의 꼭짓점 좌표는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
- (1, 1, 1)
- (1, -1, -1)
- (-1, 1, -1)
- (-1, -1, 1)
대칭성
정사면체는 높은 수준의 대칭성을 가지고 있다. 회전 대칭축은 4개 (각 꼭짓점을 지나 반대편 면의 중심으로 향하는 축)가 있으며, 3회 회전 대칭을 가진다. 또한, 6개의 반사면을 가진다. 정사면체의 대칭군은 Td 이며, 차수는 24이다.
응용
정사면체는 구조적 안정성 때문에 건축, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 또한, 분자 구조, 바이러스 구조 등 자연 현상을 모델링하는 데에도 사용된다. 게임, 예술 작품 등에서도 정사면체를 찾아볼 수 있다.