일반화 고유벡터
일반화
일반화는 특정 사례나 조건에서 얻어진 결과나 개념을 더 넓은 범위나 일반적인 경우에 적용하거나 확장하는 과정을 의미한다. 분야에 따라 그 의미와 적용 방식이 달라질 수 있다.
수학이나 논리학에서는 특정 조건 하에 성립하는 정리를 더 넓은 범위의 조건으로 확장하거나, 개별적인 사례들로부터 보편적인 규칙이나 원리를 이끌어내는 것을 일반화라고 한다. 예를 들어, 특정 유형의 함수에 대해 증명된 성질을 더 넓은 범위의 함수 집합에 대해 확장하여 적용할 때 일반화가 이루어진다.
통계학이나 기계 학습 분야에서는 학습된 모델이 훈련에 사용되지 않은 새로운 데이터에 대해서도 얼마나 잘 예측하거나 분류하는지를 나타내는 능력을 일반화 능력이라고 한다. 모델이 특정 훈련 데이터에만 과도하게 맞춰져(과적합) 실제 환경의 다양한 데이터에 제대로 반응하지 못하는 것을 방지하고, 범용적인 성능을 가지도록 하는 것이 중요하다. 좋은 일반화 능력을 가진 모델은 다양한 데이터 분포에 대해 안정적인 성능을 보인다.
일반화는 과학적 지식을 확장하고, 이론의 적용 범위를 넓히며, 예측 및 추론 모델의 실용성을 높이는 데 필수적인 과정이다.
고유벡터
고유벡터(Eigenvector)는 선형 변환이 적용되었을 때 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 0이 아닌 벡터를 의미한다. 이때 벡터의 크기를 변화시키는 스칼라 값을 고유값(Eigenvalue)이라고 한다.
수학적으로, 행렬 A에 의한 선형 변환이 벡터 v(v ≠ 0)에 적용되었을 때, 결과 벡터가 원래 벡터 v의 스칼라 배(λv)가 된다면, 즉 Av = λv 관계가 성립한다면, 벡터 v를 행렬 A의 고유벡터, 스칼라 값 λ를 그에 대응하는 고유값이라고 한다.
고유벡터와 고유값은 행렬이 나타내는 선형 변환의 본질적인 특성을 파악하는 데 사용된다. 고유벡터는 변환에 의해 '정체성'을 유지하는 방향을 나타내고, 고유값은 해당 방향으로 변환의 '강도'나 '스케일링 비율'을 나타낸다.
이 개념은 다양한 분야에서 응용된다. 예를 들어, 선형 대수학에서는 행렬의 대각화, 행렬의 거듭제곱 계산 등에 사용되며, 통계학의 주성분 분석(PCA)에서는 데이터의 분산이 가장 큰 방향(고유벡터)을 찾는 데 활용된다. 물리학에서는 양자 역학에서 관측 가능한 물리량의 상태나 진동 시스템의 고유 진동 모드를 분석하는 데 사용되는 등 광범위하게 응용되고 있다.