유계 작용소

유계 작용소 (Bounded Operator)는 함수해석학에서 중요한 개념으로, 벡터 공간 사이의 선형 변환 중에서 특별한 성질을 갖는 작용소를 의미한다. 구체적으로, 두 노름 공간 사이의 선형 작용소 T가 유계 작용소라는 것은 T에 의해 변환된 벡터의 노름이 원래 벡터의 노름에 상수배를 곱한 값보다 크지 않다는 것을 의미한다. 즉, 모든 벡터 x에 대해 ||T(x)|| ≤ M||x||을 만족하는 상수 M이 존재할 때 T를 유계 작용소라고 한다.

정의

두 노름 공간 X와 Y 사이의 선형 작용소 T: X → Y가 주어졌을 때, 다음 조건이 성립하면 T는 유계 작용소이다.

• 존재하는 상수 M ≥ 0이 있어서, 모든 x ∈ X에 대해 ||T(x)|| ≤ M||x|| 이다.

이때, 위 부등식을 만족하는 가장 작은 상수 M을 T의 작용소 노름 (operator norm)이라고 부르며, ||T||로 표기한다. 작용소 노름은 다음과 같이 정의될 수 있다.

• ||T|| = sup{||T(x)|| : ||x|| ≤ 1} = sup{||T(x)||/||x|| : x ≠ 0}

성질

• 선형 작용소 T가 유계 작용소일 필요충분조건은 T가 연속 작용소인 것이다.
• 유계 선형 작용소들의 집합은 벡터 공간을 이루며, 작용소 노름에 의해 완비 거리 공간이 된다.
• 두 유계 선형 작용소의 합성 역시 유계 선형 작용소이다.
• 유계 선형 작용소는 힐베르트 공간에서 특히 중요한 역할을 하며, 다양한 응용 분야에서 활용된다.

예시

• 유한 차원 노름 공간 사이의 모든 선형 작용소는 유계 작용소이다.
• 적분 작용소는 특정한 조건을 만족하면 유계 작용소가 된다.
• 미분 작용소는 일반적으로 유계 작용소가 아니지만, 정의역을 적절히 제한하면 유계 작용소가 될 수 있다.

응용

유계 작용소는 함수해석학, 양자역학, 수치해석 등 다양한 분야에서 응용된다. 특히, 선형 연립 방정식의 해의 존재성과 유일성, 미분 방정식의 해의 존재성, 적분 방정식의 해의 존재성 등을 분석하는 데 중요한 도구로 활용된다.