오일러 변환

오일러 변환은 수학자 레온하르트 오일러의 이름을 딴 여러 가지 수학적 기법을 통칭하는 용어이다. 주로 무한 급수의 수렴 속도를 개선하거나 특정 형태의 적분을 계산하는 데 사용된다.

1. 급수 변환

오일러 변환이라고 하면 가장 흔하게 급수 변환을 가리킨다. 이는 특히 교대 급수의 수렴 속도를 빠르게 하거나, 수렴하지 않는 특정 급수에 값을 할당하는 데 사용된다.

형식적으로는 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n a_n$ 형태의 급수에 대해, 이를 새로운 급수 $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{\Delta^k a_0}{2^{k+1}}$으로 변환한다. 여기서 $\Delta$는 전방 차분 연산자($\Delta a_n = a_{n+1} - a_n$)이며, $\Delta^k a_n$은 k번 반복 적용된 차분 연산의 결과이다. 이 변환된 급수는 원래 급수보다 훨씬 빠르게 수렴하는 경우가 많아 수치 계산에 유용하게 사용된다. 또한, 원래 급수가 발산하더라도 변환된 급수가 수렴한다면, 그 수렴값을 원래 급수의 '합'으로 정의하는 데 사용될 수 있다.

2. 적분 변환 (오일러 치환)

미적분학에서 특정 형태의 적분을 계산하기 위해 사용되는 변환 기법을 오일러 치환(Euler substitution)이라고 하며, 넓은 의미에서 오일러 변환의 일부로 간주되기도 한다.

이는 $\int R(x, \sqrt{ax^2+bx+c}) dx$ 형태의 적분(여기서 R은 유리 함수)에서 사용된다. 이차식의 제곱근을 포함하는 이러한 적분을 계산하기 위해 다음과 같은 세 가지 주요 치환 중 하나를 사용한다:

• $\sqrt{ax^2+bx+c} = \pm \sqrt{a} x + t$ (a > 0일 때)
• $\sqrt{ax^2+bx+c} = xt \pm \sqrt{c}$ (c > 0일 때)
• $\sqrt{ax^2+bx+c} = (x-\alpha)t$ (ax^2+bx+c가 실수근 $\alpha, \beta$를 가질 때)

이러한 치환을 통해 원래의 적분을 $t$에 대한 유리 함수의 적분으로 변환할 수 있으며, 유리 함수의 적분은 분해를 통해 항상 계산할 수 있다.

요약

오일러 변환은 이처럼 급수론과 적분학 등 다양한 수학 분야에서 계산을 용이하게 하거나 이론적 분석을 돕는 유용한 도구이다. 문맥에 따라 급수 변환을 의미하기도 하고, 적분 계산을 위한 치환 기법을 의미하기도 한다.