역수

역수는 어떤 수에 대해, 그 수와 곱하여 1이 되는 수를 의미한다. 수학적으로는, 수 a의 역수는 1/a로 표현되며, a × (1/a) = 1 의 관계를 만족한다. 단, a는 0이 아니어야 한다. 0의 역수는 정의되지 않는다.

다양한 수 체계에서의 역수

• 실수: 모든 0이 아닌 실수는 역수를 갖는다. 예를 들어, 2의 역수는 1/2 (또는 0.5), -3의 역수는 -1/3이다.

• 복소수: 모든 0이 아닌 복소수는 역수를 갖는다. 복소수 z = a + bi (a, b는 실수, i는 허수단위)의 역수는 1/z = 1/(a + bi) = (a - bi)/((a² + b²)) 로 계산된다.

• 행렬: 정방행렬 A에 대해, A의 역행렬(inverse matrix)을 A⁻¹ 이라고 표기하며, 이는 A와 곱하여 단위행렬 I (대각선 성분이 1이고 나머지 성분이 0인 행렬)이 되는 행렬이다. 즉, A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I 이다. 모든 정방행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니며, 역행렬을 갖는 행렬을 가역행렬 또는 정칙행렬이라고 한다.

• 함수: 함수 f(x)에 대한 역함수(inverse function) f⁻¹(x)는 f(f⁻¹(x)) = f⁻¹(f(x)) = x 를 만족하는 함수이다. 모든 함수가 역함수를 갖는 것은 아니다. 역함수를 갖는 함수를 일대일 대응 함수라고 한다.

역수의 활용

역수는 나눗셈을 곱셈으로 바꾸는 데 유용하게 사용된다. a ÷ b 는 a × (1/b) 와 같다. 이러한 성질은 수학적 계산을 단순화하거나, 특히 컴퓨터 프로그래밍에서 나눗셈 연산보다 곱셈 연산이 더 효율적인 경우에 활용된다. 역행렬은 선형대수학에서 연립방정식을 푸는 데 필수적인 역할을 한다.