브레치나이더 공식

브레치나이더 공식 (Bretschneider's formula)은 볼록 사각형의 네 변의 길이와 두 대각선의 길이로부터 사각형의 넓이를 구하는 공식이다. 사이클 사각형의 넓이를 구하는 브라마굽타 공식의 일반화된 형태이며, 다음과 같이 표현된다.

사각형 ABCD의 네 변의 길이를 각각 a, b, c, d라 하고, 두 대각선의 길이를 각각 e, f라 하며, 두 대각선이 이루는 각의 합의 절반을 s라고 할 때 (즉, s = (A + C)/2 ), 사각형의 넓이 K는 다음과 같다.

K = √((s - a)(s - b)(s - c)(s - d) - abcd * cos²(s))

만약 사각형이 사이클 사각형이라면, 마주보는 각의 합은 180도이므로 s = 90도가 되고, cos²(s) = 0이 되어 브라마굽타 공식으로 간소화된다. 브레치나이더 공식은 사이클 사각형이 아닌 일반적인 볼록 사각형의 넓이도 구할 수 있다는 점에서 유용하다.